mathlet · 200 个公式可视化

二项展开（帕斯卡三角）

(a + b)^{n} = s u m bin o m n k a^{n - k} b^{k}

帕斯卡三角的色块强度 = 二项系数大小。

代数 / 三角 / 复数2D

三次方程根（Cardano）

x^{3} + p x + q = 0

判别式 Δ=-4p³-27q² 决定根的类型。

代数 / 三角 / 复数2D

复数加法（平行四边形法则）

(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

两复数相加 = 向量首尾相接 = 平行四边形对角线。

代数 / 三角 / 复数2D

复数共轭与模

ba r z = a - bi, ∣ z ∣ = s q r t a^{2} + b^{2}

共轭 = 实轴对称；模 = 到原点距离。

代数 / 三角 / 复数2D

复幂映射 z^n

w = z^{n} = r^{n} e^{in t h e t a}

看 z 在单位圆上跑一圈，w=z^n 跑 n 圈。

代数 / 三角 / 复数2D

共形映射 z²/sin/exp

w = f (z)

方格在不同复函数下保角变换。

代数 / 三角 / 复数2D

棣莫弗公式

(cos t h e t a + i s in t h e t a)^{n} = cos n t h e t a + i s inn t h e t a

幂运算 = 角度乘 n。

代数 / 三角 / 复数2D

e^{i t h e t a} = cos t h e t a + i s in t h e t a

单位圆上 e^{iθ} 的几何意义：旋转。

代数 / 三角 / 复数2D

代数基本定理（绕零点）

t e x t d e g (p) = t e x t w in d in g n u mb er

多项式映射大圆，绕 0 点圈数 = 度数。

代数 / 三角 / 复数2D

莫比乌斯变换

w = f r a c a z + b cz + d

分式线性变换：圆映为圆，保共形。

代数 / 三角 / 复数2D

多项式根（复平面）

p (z) = p r o d (z - r_{k})

多项式 z^n + c·z + d 的复根分布。

代数 / 三角 / 复数2D

(X, Y, Z) = f r a c (2 x, 2 y, x^{2} + y^{2} - 1) x^{2} + y^{2} + 1

复平面 → 球面的立体投影。

代数 / 三角 / 复数3D

三角和角公式

s in (a + b) = s ina cos b + cos a s inb

sin(x+φ) 的相位偏移 = 余弦/正弦组合。

代数 / 三角 / 复数2D

z e t a_{k} = e^{2 p iik / n}

n 次单位根均匀分布在单位圆上，构成正 n 边形顶点。

代数 / 三角 / 复数2D

L=\\int_a^b\\sqrt{1+f\

数值估算 sin 在 [a,b] 上的弧长。

微积分 / 级数2D

s u m x^{n} = f r a c 1 1 - x, ∣ x ∣ < 1

几何级数仅在 |x|<1 收敛，N→∞ 部分和爆炸于 R 之外。

微积分 / 级数2D

\\kappa=\\frac{|f\

抛物线在每点画密接圆。

微积分 / 级数2D

导数=切线斜率

f\

割线 → 切线。h→0。

微积分 / 级数2D

傅里叶级数

f (x) = s u m a_{k} cos k x + b_{k} s ink x

方/锯/三角波由谐波叠加。Gibbs 现象在阶跃处显现。

微积分 / 级数2D

l i m_{N t o in f t y} t e x t o v er s h oo t a pp r o x 8.95

阶跃处过冲约 9%，永不消失。

微积分 / 级数2D

定积分=面积

in t_{a}^{b} f (x) d x

拖动 a/b，面积可正可负。

微积分 / 级数2D

拉普拉斯变换

F(s)=\\int_0^\\infty f(t)e^{-st}dt

常见 f(t) 的 F(s)（s > 极点）。

微积分 / 级数2D

洛必达型 0/0

\\lim\\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim\\frac{f\

x→0 时常见的 0/0 型极限。

微积分 / 级数2D

ε-δ 极限定义

f or a l l e p s i l o n e x i s t s d e l t a : ∣ x - a ∣ < d e l t a R i g h t a r r o w ∣ f (x) - L ∣ < e p s i l o n

ε 区域内 f 输出，δ 区域内 x 输入。

微积分 / 级数2D

f\

区间内必存在 c 使切线平行于割线。

微积分 / 级数2D

in t_{a}^{b} f a pp r o x s u m f (x_{i}) D e l t a x

矩形/中点/梯形逼近积分。

微积分 / 级数2D

数项级数收敛比较

s u m a_{n}

调和/p-级数/几何部分和增长对比。

微积分 / 级数2D

泰勒级数逼近

f (x) = s u m f r a c f^{(k)} (0) k! x^{k}

调阶数看部分和如何逼近原函数。

微积分 / 级数2D

Boids 群体行为

t e x t co h es i o n + a l i g nm e n t + se p a r a t i o n

三规则群体涌现集群飞行。

元胞自动机 / 涌现2D

t e x t o n / r e f r a c t or y / o f f

三态元胞，3 邻居打开，1 步不应期。涌现波纹。

元胞自动机 / 涌现2D

Day & Night (B3678/S34678)

B 3678/ S 34678

对偶规则，背景翻转后规则不变。

元胞自动机 / 涌现2D

Elementary CA Rule 110（图灵完备）

t e x t R u l e 110

已被证明图灵完备的简单 1D CA。

元胞自动机 / 涌现2D

p t e x t g r o w, f t e x t i g ni t e

树/火/空，雷击点燃 + 自然生长，临界相变。

元胞自动机 / 涌现2D

康威生命游戏

t e x t B 3/ S 23

细胞 = 0/1，3 邻居生，2/3 邻居存活。

元胞自动机 / 涌现2D

HighLife (B36/S23)

B 36/ S 23

生命变种，含 replicator 复制子。

元胞自动机 / 涌现2D

t e x t t u r n l e f t / r i g h tp er ce l l co l or

白格右转翻黑，黑格左转翻白。10000 步后构建"高速公路"。

元胞自动机 / 涌现2D

Lenia（连续生命）

⭐⭐⭐⭐⭐

A_{t + 1} = [A_{t} + D e l t a t c d o tG (K * A_{t})]_{[0, 1]}

连续值 + 平滑核 → 软体生物涌现。

元胞自动机 / 涌现2D

Maze CA (B3/S12345)

B 3/ S 12345

生成迷宫风格图案的元胞规则。

元胞自动机 / 涌现2D

Gray-Scott 反应扩散

p a r t ia l_{t} U = D_{u} nab l a^{2} U - U V^{2} + F (1 - U)

细胞分裂/孔洞/迷宫斑纹（feed/kill 决定）。

元胞自动机 / 涌现2D

t e x t t o ppl in g : 4 t o 4 t im es 1

每格 ≥4 时向 4 邻居倒沙。临界态 → 复杂图样。

元胞自动机 / 涌现2D

B 2/ S

每代细胞死，2 邻居诞生。混乱涌现。

元胞自动机 / 涌现2D

Wolfram 1D 元胞自动机

t e x t r u l e 0 l er l e 255

rule 30 混沌, rule 90 谢尔宾斯基, rule 110 图灵完备。

元胞自动机 / 涌现2D

Burning Ship 分形

z_{n + 1} = (∣ x_{n} ∣ + i ∣ y_{n} ∣)^{2} + c

船型分形：每步先取分量绝对值。

分形 / 混沌2D

t e x t r e m o v e mi dd l e t hi r d

递归挖掉中间 1/3 区间。

分形 / 混沌2D

Heighway 龙曲线

t e x t p a p er f o l d in g

纸条对折展开极限即龙曲线。

分形 / 混沌2D

Feigenbaum 倍周期

⭐⭐⭐⭐⭐

d e l t a a pp r o x 4.6692

tent map / 三次 map 的分岔图。

分形 / 混沌2D

t e x t I F S : 4 仿射映射加权

4 个仿射映射 + 概率权重生成蕨叶。

分形 / 混沌2D

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c

固定 c，初值 z₀ 扫遍复平面。

分形 / 混沌2D

t e x t 每边 \to 4 段，长 1/3

三角形每边迭代尖凸。

分形 / 混沌2D

逻辑斯蒂映射

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n})

蛛网图：抛物线 + y=x 的迭代轨迹。

分形 / 混沌2D

F t o F + F - F - F + F

符号迭代生成分形：Koch/Dragon/Sierpinski/Plant。

分形 / 混沌2D

Lyapunov 分形

⭐⭐⭐⭐⭐

\\lambda=\\lim\\frac{1}{N}\\sum\\log|f\

AB 序列下 logistic 映射的 Lyapunov 指数。

分形 / 混沌2D

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c

复迭代发散判定。zoom + center 探索。

分形 / 混沌2D

Multibrot z^d+c

z t o z^{d} + c

调指数 d 看 Mandelbrot 的推广形态。

分形 / 混沌2D

Newton 分形（z³−1）

z\\to z-\\frac{p(z)}{p\

按收敛到的根上色。

分形 / 混沌2D

Sierpinski 地毯

t e x t 8 个 1/3 缩仿射

方形挖中心，递归 8 个子方形。

分形 / 混沌2D

Sierpinski 三角

t e x t 3 半缩仿射

三角形递归挖洞。

分形 / 混沌2D

Aizawa 奇异吸引子

⭐⭐⭐⭐⭐

d o t x = (z - b) x - d y, d o t y = d x + (z - b) y

Aizawa 系统的盘形分形结构。

分形 / 混沌2D

贝塞尔曲线（de Casteljau）

B (t) = s u m bin o m n i (1 - t)^{n - i} t^{i} P_{i}

4 控制点拖动，看 t 处递归插值。

几何 / 解析几何2D

P\\to P\

网格在反演下变弧线。

几何 / 解析几何2D

r h o_{2 D} = f r a c p i 2 s q r t 3

平面最密堆积六边形格，密度 ≈ 0.9069。

几何 / 解析几何2D

圆锥曲线（极坐标）

r = f r a c l 1 - e cos t h e t a

离心率 e<1 椭圆，e=1 抛物线，e>1 双曲线。

几何 / 解析几何2D

摆线生成动画

(r (t - s in t), r (1 - cos t))

圆滚动留下的轨迹 = 摆线。

几何 / 解析几何2D

伯努利双纽线

r^{2} = a^{2} cos 2 t h e t a

∞ 形闭曲线。

几何 / 解析几何2D

参数曲线集

(x, y) = (f (t), g (t))

摆线/星型线/心形线/外摆线。

几何 / 解析几何2D

极坐标玫瑰

r = a cos (k t h e t a)

k 偶得 2k 瓣，k 奇得 k 瓣。

几何 / 解析几何2D

阿基米德螺线

r = a + b t h e t a

相邻螺臂等距 = 阿基米德螺线。

几何 / 解析几何2D

对数螺线（黄金螺线）

r = a e^{b t h e t a}

每转一圈半径乘 e^{2πb}。b=0.306 → 黄金螺线。

几何 / 解析几何2D

万花尺（Hypotrochoid）

(R - r) cos t + d cos f r a c R - r r t

大圆 R 内滚小圆 r，固定点画轨迹。

几何 / 解析几何2D

超椭圆（Lamé 曲线）

l e f t ∣ f r a c x a r i g h t ∣^{n} + l e f t ∣ f r a c y b r i g h t ∣^{n} = 1

n=2 椭圆，n→∞ 矩形，n=2/3 星形线。

几何 / 解析几何2D

三角形内切圆

r = f r a c t e x t A r e a s

内切圆半径 = 面积 / 半周长。

几何 / 解析几何2D

V (p) = x : ∣ x - p ∣ l e ∣ x - p_{i} ∣, f or a l l i

每点最近站点的色块 = Voronoi 图。

几何 / 解析几何2D

行列式 = 面积

d e t A = a d - b c

两列向量张成平行四边形的有向面积 = 行列式。

点积 / 叉积（2D）

a c d o t b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos t h e t a, a t im es b = ∣ a ∣∣ b ∣ s in t h e t a

点积 = 投影长，叉积 = 平行四边形面积。

2D 特征向量

A v = l amb d a v

实特征向量沿矩阵作用方向不变。

Gram-Schmidt 正交化

u_{2} = v_{2} - t e x t p r o j_{u_{1}} v_{2}

两向量正交化为单位正交基。

雅可比矩阵（局部线性化）

J=\\begin{pmatrix}\\partial f/\\partial x&\\partial f/\\partial y\\end{pmatrix}

非线性映射 (sin x, cos y) 在某点的 Jacobian。

最小二乘拟合

ha t b e t a = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y

噪声散点的最小二乘直线。

LU 分解（2x2）

A = LU

2x2 矩阵分解为下三角 × 上三角。

矩阵幂收敛于稳态

A^{k} t o t e x t r ank - 1

随机矩阵 A^k 收敛 → 每行近似稳态分布。

2x2 矩阵变换

\\begin{pmatrix}a&b\\\\c&d\\end{pmatrix}

网格 + 基向量在线性变换下的形变。

C v = l amb d a v

高斯散点的协方差矩阵特征向量 = 主轴。

t e x t p r o j_{b} a = f r a c a c d o t b ∣ b ∣^{2} b

a 在 b 方向上的投影向量。

四元数 Slerp 插值

q (t) = q_{1} (q_{1}^{- 1} q_{2})^{t}

两个旋转之间的最短弧插值。

3D 旋转矩阵

R = R_{z} R_{y} R_{x}

欧拉角合成的 3D 旋转。

SVD 几何分解

A = U S i g ma V^{T}

矩阵 = 旋转 + 缩放 + 旋转。单位圆 → 椭圆。

Collatz 猜想轨迹

n t o n /2 t e x t 或 3 n + 1

多个起始 n 的奇偶迭代轨迹。

数论 / 离散2D

连分数收敛子

x = a_{0} + c f r a c 1 a_{1} + c f r a c 1 a_{2} + d o t s

展示 √2/π/φ 的部分商序列与有理逼近。

数论 / 离散2D

因子计数 d(n)

d(n)=\\#\\{k:k|n\\}

素数 d(n)=2，幂多者凸出。

数论 / 离散2D

F_{n} = a / b : 0 l e a / b l e 1, g c d (a, b) = 1, b l e n

阶 n 的 Farey 序列分布。

数论 / 离散2D

高斯圆问题

N(r)=\\#\\{(x,y)\\in\\Z^2:x^2+y^2\\le r^2\\}

计数半径 r 圆内整点。N(r) ≈ πr²。

数论 / 离散2D

Goldbach 彗星

g(2n)=\\#\\{p+q=2n,p,q\\text{ prime}\\}

每个偶数表示为两素数之和的方法数。

数论 / 离散2D

模乘圆心形

i t o mi bm o d n

圆周 n 等分，连 i 到 (m·i) mod n。m=2 心形。

数论 / 离散2D

Fibonacci 增长（log）

F_{n} s im f r a c p h i^{n} s q r t 5

log F_n 近似线性，斜率 = log φ。

数论 / 离散2D

二次剩余模 p

a e q u i v b^{2} p m o d p

p×p 网格，标记是否为二次剩余。

数论 / 离散2D

埃拉托斯特尼筛

p t e x t p r im e R i g h t a r r o w t e x t s t r ik e 2 p, 3 p, ...

2..N 网格中筛除合数，留素数。

数论 / 离散2D

Stern-Brocot 树

f r a c a + c b + d

mediant 操作生成所有正有理数。

数论 / 离散2D

欧拉函数 φ(n)

\\varphi(n)=\\#\\{k\\le n:\\gcd(k,n)=1\\}

与 n 互素的 ≤n 数个数。

数论 / 离散2D

t e x t p r im e (n)?

按螺旋排布整数，标记素数，浮现对角线。

数论 / 离散2D

Riemann ζ 临界线

⭐⭐⭐⭐⭐

z e t a (1/2 + i t)

临界线上 |ζ| 的模长，零点 = 黎曼 ζ 零。

数论 / 离散2D

逻辑斯蒂分岔图

⭐⭐⭐⭐⭐

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n})

扫 r ∈ [0,4]，绘制稳态分布。Feigenbaum 倍周期。

ODE / 动力系统2D

⭐⭐⭐⭐⭐

d o t x = a (y - x), d o t y = (c - a) x - x z + cy, d o t z = x y - b z

类洛伦兹结构但参数空间不同。

ODE / 动力系统2D

⭐⭐⭐⭐⭐

t e x t L a g r an g ian : L = T - V

4 维相空间，对初值极敏感。

ODE / 动力系统2D

dd o t x + d e l t a d o t x + a l p ha x + b e t a x^{3} = g amma cos o m e g a t

非线性弹簧 + 周期外力 → 混沌。

ODE / 动力系统2D

Halvorsen 吸引子

⭐⭐⭐⭐⭐

d o t x = - a x - 4 y - 4 z - y^{2}

三轴对称的奇异吸引子。

ODE / 动力系统2D

极限环（Hopf 分岔）

d o t r = m u r - r^{3}

μ>0 时出现稳定极限环（Stuart-Landau）。

ODE / 动力系统2D

洛伦兹吸引子

d o t x = s i g ma (y - x), d o t y = x (r h o - z) - y, d o t z = x y - b e t a z

σ=10, ρ=28, β=8/3 时混沌；蝴蝶状奇异吸引子。

ODE / 动力系统2D

Lotka-Volterra 捕食模型

d o t x = a l p ha x - b e t a x y, d o t y = d e l t a x y - g amma y

兔狼模型，闭轨周期解。

ODE / 动力系统2D

dd o t t h e t a + f r a c g L s in t h e t a = 0

非线性单摆的 (θ, ω) 相空间。

ODE / 动力系统2D

线性系统相图

d o t x = A x

2x2 线性 ODE 的向量场（节点/鞍点/螺旋）。

ODE / 动力系统2D

松弛振荡（FitzHugh-Nagumo）

d o t v = v - v^{3} /3 - w + I, d o tw = e p s i l o n (v + a - b w)

神经元模型，慢-快动力学。

ODE / 动力系统2D

Rössler 吸引子

d o t x = - y - z, d o t y = x + a y, d o t z = b + z (x - c)

仅 1 个非线性项的混沌系统。

ODE / 动力系统2D

SIR 流行病模型

d o tS = - b e t a S I, d o t I = b e t a S I - g amma I

易感/感染轨迹（R 由守恒补出）。

ODE / 动力系统2D

SIRS 模型（带免疫流失）

d o tS = - b e t a S I + x i R

免疫衰退导致周期性疫情。

ODE / 动力系统2D

dd o t x + 2 z e t a o m e g a d o t x + o m e g a^{2} x = 0

欠阻尼/临界/过阻尼三种情况。

ODE / 动力系统2D

范德波尔振荡

dd o t x - m u (1 - x^{2}) d o t x + x = 0

非线性阻尼，μ 控制松弛振荡形状，存在极限环。

ODE / 动力系统2D

共轭梯度（CG）

p_{k + 1} = - r_{k + 1} + b e t a_{k} p_{k}

求解 Ax=b，2D 椭圆 ≤2 步收敛。

优化 / 数值2D

a r g mi n_{x_{i}} f t e x t 一次只动一维

交替沿 x、y 方向最小化。

优化 / 数值2D

t e x t se l ec t + cr osso v er + m u t a t e

种群在多峰地形上演化找最大。

优化 / 数值2D

梯度下降轨迹

x_{n + 1} = x_{n} - e t a nab l a f

看 lr 和函数地形如何决定收敛。

优化 / 数值2D

拉格朗日乘子

nab l a f = l amb d a nab l a g

最大化 f(x,y)=xy 受约束 x²+y²=r²。

优化 / 数值2D

Levenberg-Marquardt 拟合

⭐⭐⭐⭐⭐

(J^{T} J + l amb d a I) d e l t a = J^{T} r

非线性最小二乘：a·exp(-bx²) 拟合噪声散点。

优化 / 数值2D

回溯线搜索（Armijo）

f (x + a l p ha p) l e f (x) + c a l p ha nab l a f^{T} p

判断步长 α 是否充分下降。

优化 / 数值2D

SGD vs Momentum vs Adam

v_{t} = b e t a v_{t - 1} + (1 - b e t a) nab l a f

三种优化器在峡谷地形上的轨迹对比。

优化 / 数值2D

Nelder-Mead 单纯形

t e x t r e f l ec t / e x p an d / co n t r a c t / s h r ink

2D 三角形通过反射/扩张/收缩搜索最小值。

优化 / 数值2D

牛顿法（求根）

x_{n+1}=x_n-\\frac{f(x_n)}{f\

切线交 x 轴，迭代逼近根。

优化 / 数值2D

二次型曲面

f (x, y) = a x^{2} + b y^{2} + c x y

凸/鞍/退化分类。

优化 / 数值2D

L2 正则化（岭回归）

min ∣ y - X b e t a ∣^{2} + l amb d a ∣ b e t a ∣^{2}

多项式拟合 + L2 正则。

优化 / 数值2D

2D 单纯形可行域

ma x c^{T} x t e x t s . t . A x l e b

看可行多边形，目标函数线扫过最优顶点。

优化 / 数值2D

P = e^{- D e l t a E / T}

温度逐步下降，跳出局部最小。

优化 / 数值2D

u_{t} + c u_{x} = 0

初值波形以速度 c 平移（迎风差分）。

PDE / 物理场2D

Black-Scholes 期权定价

⭐⭐⭐⭐⭐

C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

欧式看涨期权价格 vs 当前股价 S。

PDE / 物理场2D

1D Burgers 方程（激波形成）

⭐⭐⭐⭐⭐

u_{t} + u u_{x} = n u u_{xx}

非线性平流 + 黏性 → 激波。

PDE / 物理场2D

2D 扩散方程

u_{t} = a l p ha nab l a^{2} u

热点逐渐扩散为环形。

PDE / 物理场2D

圆膜本征模 (m,n)

u_{mn} = J_{m} (a l p ha r) cos (m t h e t a)

圆鼓膜的本征振型，Bessel 函数节点圆。

PDE / 物理场2D

u_{t} = a l p ha u_{xx}

两端冷源，中部高斯热源逐渐扩散平滑。

PDE / 物理场2D

2D 亥姆霍兹方程（矩形膜本征模）

(nab l a^{2} + k^{2}) u = 0

矩形膜本征模 sin(mπx)sin(nπy)。

PDE / 物理场2D

2D 拉普拉斯方程

nab l a^{2} u = 0

四边温度边界 → 内部稳态分布（Jacobi 迭代）。

PDE / 物理场2D

非线性薛定谔（孤子）

⭐⭐⭐⭐⭐

i p s i_{t} + f r a c 12 p s i_{xx} + ∣ p s i ∣^{2} p s i = 0

sech 包络保形传播 = 孤子。

PDE / 物理场2D

2D 泊松方程

- nab l a^{2} u = f

右端 = 高斯源，零边界条件，Jacobi 求解。

PDE / 物理场2D

1D 薛定谔方程（高斯波包）

⭐⭐⭐⭐⭐

i hba r p a r t ia l_{t} p s i = - f r a c hba r^{2} 2 m p a r t ia l_{x}^{2} p s i + V p s i

波包碰势垒：透射 + 反射。

PDE / 物理场2D

驻波（弦本征模）

u_{n} (x, t) = s in (n p i x) cos (n p i c t)

两端固定弦的 n 阶本征振型。

PDE / 物理场2D

1D 波动方程

u_{tt} = c^{2} u_{xx}

两端固定弦，初值高斯包行波。

PDE / 物理场2D

2D 波动方程

u_{tt} = c^{2} (u_{xx} + u_{y y})

方形膜上的水波传播。

PDE / 物理场3D

贝叶斯定理（医检）

P (D ∣ +) = f r a c P (+ ∣ D) P (D) P (+)

灵敏度/特异度/患病率 → 阳性预测值。

概率 / 统计2D

f r a c x^{a l p ha - 1} (1 - x)^{b e t a - 1} B (a l p ha, b e t a)

共轭于二项分布。α=β=1 均匀。

概率 / 统计2D

P (k) = bin o m n k p^{k} (1 - p)^{n - k}

n 次试验 k 次成功的概率。

概率 / 统计2D

2D 布朗运动

d X = s i g ma d W

独立高斯增量的二维布朗运动。

概率 / 统计2D

P = f r a c 2 L p i d R i g h t a r r o w p i a pp r o x f r a c 2 L c d o tN d c d o t k

随机投针穿线条概率 → π 估计。

概率 / 统计2D

中心极限定理

f r a c S_{n} - n m u s i g ma s q r t n t o ma t h c a l N (0, 1)

调样本数 n 看分布如何向高斯靠近。

概率 / 统计2D

l amb d a e^{- l amb d a x}, x g e 0

无记忆性；λ 越大衰减越快。

概率 / 统计2D

高尔顿钉板

X = s u m X_{i} t o ma t h c a l N

小球碰钉左右等概率，落点直方近似正态。

概率 / 统计2D

高斯混合分布

p (x) = s u m w_{i} ma t h c a l N (m u_{i}, s i g m a_{i}^{2})

两个高斯加权叠加。

概率 / 统计2D

马尔可夫链稳态

p i P = p i

3 状态链，看转移矩阵的稳态分布。

概率 / 统计2D

MCMC Metropolis-Hastings

\\alpha=\\min(1,\\pi(x\

采样目标密度（双高斯混合）。

概率 / 统计2D

正态分布 PDF

f r a c 1 s i g ma s q r t 2 p i e^{- (x - m u)^{2} /2 s i g m a^{2}}

调 μ/σ 看钟形偏移与展宽。

概率 / 统计2D

P (N (t) = k) = f r a c (l amb d a t)^{k} k! e^{- l amb d a t}

独立等待时间为指数分布的事件流。

概率 / 统计2D

1D 随机游走

X_{n + 1} = X_{n} + x i_{n}

多条独立随机游走轨迹，t 是步数（横轴）。

概率 / 统计2D

(1 + m cos o m e g a_{m} t) cos o m e g a_{c} t

载波 ω_c × 包络（1 + m cos ω_m t）。

信号 / 变换2D

(f * g) (t) = in t f (t a u) g (t - t a u) d t a u

方波 * 高斯 = 平滑后的版本。

信号 / 变换2D

DFT 公式可视化

X_{k} = s u m x_{n} e^{- 2 p iik n / N}

对一个频率 k 的傅里叶系数累加可视化。

信号 / 变换2D

X_{k} = s u m x_{n} e^{- 2 p iik n / N}

三正弦叠加 + 时域/频域对照。

信号 / 变换2D

cos (o m e g a_{c} t + b e t a s in o m e g a_{m} t)

载波频率随调制信号变化。

信号 / 变换2D

IIR 共振器频响

H (z) = f r a c 1 1 - 2 r cos t h e t a z^{- 1} + r^{2} z^{- 2}

极点接近单位圆 → 尖峰共振。

信号 / 变换2D

Lissajous 曲线

x = A s in (a t + d e l t a), y = B s in (b t)

频率比 a:b 决定闭合形态。

信号 / 变换2D

一阶 RC 低通滤波器

∣ H (f) ∣ = f r a c 1 s q r t 1 + (f / f_{c})^{2}

幅频/相频响应（Bode 图）。

信号 / 变换2D

f_{s} > 2 f t e x t (N y q u i s t)

采样率 fs 不足时高频伪装为低频。

信号 / 变换2D

t e x t s in c (x) = f r a c s in p i x p i x

矩形窗的傅里叶变换。

信号 / 变换2D

频谱图（chirp）

t e x t S T F T (t, f)

线性 chirp 信号的时频图。

信号 / 变换2D

p s i_{j, k} (t) = 2^{j /2} p s i (2^{j} t - k)

尺度 j 和位移 k。

信号 / 变换2D

w (n)

Rect/Hann/Hamming/Blackman/Bartlett。

信号 / 变换2D

FFT 零填充（频域插值）

t e x t z er o - p a d t o t e x t s p ec t r a l in t er p o l a t i o n

信号补零后频谱密集化（不增分辨率）。

信号 / 变换2D

甜甜圈 ↔ 咖啡杯

t e x t g e n u s 1 同胚

拓扑同胚：同 genus 物体。

拓扑 / 流形3D

(c cos h (v / c) cos u, v, c cos h (v / c) s in u)

另一种极小曲面。

拓扑 / 流形2D

⭐⭐⭐⭐⭐

(cos u s in v, s in u s in v, cos v + l n t an (v /2) + a u)

常负高斯曲率的扭转曲面。

拓扑 / 流形2D

Enneper 极小曲面

⭐⭐⭐⭐⭐

(u - u^{3} /3 + u v^{2},, - v + v^{3} /3 - v u^{2},, u^{2} - v^{2})

局部均值曲率为零的极小曲面。

拓扑 / 流形2D

3D 心形（Taubin）

(x^{2} + f r a c 94 y^{2} + z^{2} - 1)^{3} = x^{2} z^{3} + f r a c 980 y^{2} z^{3}

Taubin 心形隐式曲面（参数近似）。

拓扑 / 流形2D

⭐⭐⭐⭐⭐

S^{3} t o S^{2}

S² 上每点对应 S³ 上一个圆。投影到 R³ 看缠绕环。

拓扑 / 流形3D

单叶双曲面

f r a c x^{2} + y^{2} a^{2} - f r a c z^{2} c^{2} = 1

两族直线生成的二次曲面。

拓扑 / 流形2D

t e x t K l e in p a r am e t er i z a t i o n

无内外之分的不可定向曲面（沉浸到 R³）。

拓扑 / 流形2D

莫比乌斯带

(R + v cos (u /2)) cos u

单侧曲面。

拓扑 / 流形2D

马鞍面 z=x²−y²

z = x^{2} - y^{2}

高斯曲率处处为负的双曲抛物面。

拓扑 / 流形2D

t e x t s p i r a l t im es t e x t t u b e

指数螺旋路径上拉伸圆 = 海螺。

拓扑 / 流形2D

球面参数化

(s in v cos u, s in v s in u, cos v)

经纬度参数化球面。

拓扑 / 流形2D

(R + r cos v) cos u

大半径 R + 小半径 r。

拓扑 / 流形2D

(s in t + 2 s in 2 t, cos t - 2 cos 2 t, - s in 3 t)

最简单的非平凡纽结。

拓扑 / 流形3D

曲线曲率(参数化)

\\kappa=\\frac{|x\

参数曲线沿途的曲率（标在颜色）。

向量场 / 微分几何2D

高斯曲率彩色图

⭐⭐⭐⭐⭐

K = k a pp a_{1} k a pp a_{2}

调参看双曲（K<0）/椭圆（K>0）/平直（K=0）面。

向量场 / 微分几何2D

电偶极子场

E = f r a c 1 4 p i e p s i l o n_{0} f r a c q_{i} (r - r_{i}) ∣ r - r_{i} ∣^{3}

+/− 电荷的合成 E 场。

向量场 / 微分几何2D

散度与旋度

nab l a c d o tF, nab l a t im es F

源/旋/剪/鞍 4 类原型场。

向量场 / 微分几何2D

v = s u m G amm a_{i} ha t t h e t a_{i} / r_{i}

两个涡旋的速度场叠加。

向量场 / 微分几何2D

球面测地线（大圆）

t e x t g r e a t c i r c l e

两点间最短路径 = 大圆弧。

向量场 / 微分几何3D

nab l a f = (p a r t ia l_{x} f, p a r t ia l_{y} f)

高斯峰的梯度向量。

向量场 / 微分几何2D

热流场（−∇T）

q = - k a pp a nab l a T

温度场 T = sin(ax)cos(by) 的负梯度 = 热流方向。

向量场 / 微分几何2D

电流环磁场（剖面）

B = nab l a t im es A

电流环 (±z 处) 的二维剖面 B 场。

向量场 / 微分几何2D

中心引力速度场

\\dot r=v_r\\hat r+v_\\theta\\hat\\theta

圆形轨道速度场（圆周运动方向）。

向量场 / 微分几何2D

Poiseuille 流（管中速度剖面）

u (r) = f r a c D e l t a P 4 m uL (R^{2} - r^{2})

圆管层流抛物线剖面。

向量场 / 微分几何2D

流线（积分曲线）

f r a c d x d t = F (x)

多种 2D 向量场的流线。

向量场 / 微分几何2D

环面切向量场

⭐⭐⭐⭐⭐

v = p a r t ia l_{u} + a p a r t ia l_{v}

环面 (R,r) 上线性向量场（不可绳化）。

向量场 / 微分几何3D

三源叠加场

F = s u m q_{i} (r - r_{i}) /∣ r - r_{i} ∣^{3}

三个等强度源的电场叠加。

向量场 / 微分几何2D