ODE / 动力系统 · mathlet (30)

∣ z ∣ = r, ar g z = θ

复数的极坐标表示。

代数 / 三角 / 复数2D

绝对值函数

y = ∣ a x + b ∣

代数 / 三角 / 复数2D

Bessel 函数 Jₘ

J_{m} (x)

圆柱坐标系本征解。

代数 / 三角 / 复数2D

二项展开（帕斯卡三角）

(a + b)^{n} = \sum (k n) a^{n - k} b^{k}

帕斯卡三角的色块强度 = 二项系数大小。

代数 / 三角 / 复数2D

E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV

氢原子能量随 n 收敛到 0。

代数 / 三角 / 复数2D

玻色-爱因斯坦分布

n (E) = \frac{1}{e ^{(E - μ) / k T} - 1}

玻色子占据率，μ→0 出现凝聚。

代数 / 三角 / 复数2D

三次方程根（Cardano）

x^{3} + p x + q = 0

判别式 Δ=-4p³-27q² 决定根的类型。

代数 / 三角 / 复数2D

y = a cosh (x / a)

两端固定均匀链条形状。a 越大越平。

代数 / 三角 / 复数2D

Chebyshev 多项式 Tₙ

T_{n} (cos θ) = cos n θ

极小最大误差的逼近基。

代数 / 三角 / 复数2D

复数加法（平行四边形法则）

(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

两复数相加 = 向量首尾相接 = 平行四边形对角线。

代数 / 三角 / 复数2D

复数共轭与模

\overset{z}{ˉ} = a - bi, ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

共轭 = 实轴对称；模 = 到原点距离。

代数 / 三角 / 复数2D

复幂映射 z^n

w = z^{n} = r^{n} e^{in θ}

看 z 在单位圆上跑一圈，w=z^n 跑 n 圈。

代数 / 三角 / 复数2D

康普顿散射波长偏移

Δ λ = λ_{c} (1 - cos θ)

光子被电子散射后波长变化。横轴 θ (rad)，纵轴 Δλ/λc。

代数 / 三角 / 复数2D

共形映射 z²/sin/exp

w = f (z)

方格在不同复函数下保角变换。

代数 / 三角 / 复数2D

x (t) = A e^{- γ t} cos (ω t + ϕ)

指数包络下的振荡，γ 控阻尼。

代数 / 三角 / 复数2D

棣莫弗公式

(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ

幂运算 = 角度乘 n。

代数 / 三角 / 复数2D

C_{V} = 9 N k T^{3} / Θ_{D}^{3} \int_{0}^{x_{D}} \frac{x ^{4} e ^{x}}{( e ^{x} - 1 ) ^{2}} d x

低温 ∝T³，高温饱和到 3Nk。横轴 T/Θ_D。

代数 / 三角 / 复数2D

多普勒效应

f^{'} = f \frac{c + v _{o}}{c - v _{s}}

声波频率随相对速度变化。横轴 v_s/c。

代数 / 三角 / 复数2D

误差函数 erf

erf (x) = \frac{2}{π} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

高斯积分的标准化版本。

代数 / 三角 / 复数2D

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

单位圆上 e^{iθ} 的几何意义：旋转。

代数 / 三角 / 复数2D

指数 vs 对数

y = a^{x}, y = lo g_{a} x

反函数互为镜像（y=x）。

代数 / 三角 / 复数2D

费米-狄拉克分布

f (E) = \frac{1}{e ^{(E - μ) / k T} + 1}

电子等费米子占据率。横轴 (E-μ)/kT。

代数 / 三角 / 复数2D

Floor / Ceil / Round

⌊ x ⌋, ⌈ x ⌉

阶梯函数。

代数 / 三角 / 复数2D

函数实验室（自定义表达式）

y = f (x)

输入任意 JavaScript 数学表达式实时绘图。支持 sin/cos/exp/log/sqrt 等及常量 pi, e, tau, phi。

代数 / 三角 / 复数2D

代数基本定理（绕零点）

deg (p) = winding number

多项式映射大圆，绕 0 点圈数 = 度数。

代数 / 三角 / 复数2D

Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

阶乘的连续推广，Γ(n)=(n-1)!。

代数 / 三角 / 复数2D

sinh, cosh, tanh

sinh/cosh/tanh 及其倒数。

代数 / 三角 / 复数2D

反三角函数

arcsin, arccos, arctan

三角函数的反函数。

代数 / 三角 / 复数2D

拉莫尔进动频率

ω_{L} = γ B

磁矩在外磁场中的进动角频率。横轴 B (T)。

代数 / 三角 / 复数2D

Legendre 多项式

P_{n} (x)

[-1,1] 上正交。

代数 / 三角 / 复数2D

洛伦兹因子

γ = \frac{1}{1 - β ^{2}}

相对论性时间膨胀因子。横轴 β=v/c。

代数 / 三角 / 复数2D

莫比乌斯变换

w = \frac{a z + b}{cz + d}

分式线性变换：圆映为圆，保共形。

代数 / 三角 / 复数2D

参数曲线实验室

(x (t), y (t))

用参数 t 自定义参数曲线（如 (cos(3t), sin(2t))）。

代数 / 三角 / 复数2D

普朗克黑体辐射

B (λ, T) = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{1}{e ^{h c / λk T} - 1}

温度 T 决定光谱形状。横轴 λ (μm)。

代数 / 三角 / 复数2D

极坐标实验室

r = f (θ)

极坐标自定义函数（如 1+cos(t), 2*sin(5t)）。

代数 / 三角 / 复数2D

多项式根（复平面）

p (z) = \prod (z - r_{k})

多项式 z^n + c·z + d 的复根分布。

代数 / 三角 / 复数2D

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

调 a/b/c 看判别式 Δ。

代数 / 三角 / 复数2D

max (0, x), Leaky, ELU, GELU, Swish

神经网常用激活函数。

代数 / 三角 / 复数2D

(X, Y, Z) = \frac{( 2 x , 2 y , x ^{2} + y ^{2} - 1 )}{x ^{2} + y ^{2} + 1}

复平面 → 球面的立体投影。

代数 / 三角 / 复数3D

RLC 串联阻抗

∣ Z (ω) ∣ = R^{2} + (ω L - \frac{1}{ω C})^{2}

共振频率 ω₀=1/√(LC)。

代数 / 三角 / 复数2D

齐奥尔科夫斯基方程

Δ v = v_{e} ln \frac{m _{0}}{m _{f}}

Δv 随质量比对数增长。横轴 m₀/m_f。

代数 / 三角 / 复数2D

σ^{'} (x) = σ (x) (1 - σ (x))

峰值 1/4 在 x=0。

代数 / 三角 / 复数2D

Sigmoid / Logistic

σ (x) = \frac{1}{1 + e ^{- k x}}

神经网激活函数。k 控陡度。

代数 / 三角 / 复数2D

I = I_{0} sinc^{2} (\frac{π a s i n θ}{λ})

中央亮纹宽，副极大快速衰减。

代数 / 三角 / 复数2D

斯涅尔折射定律

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}

横轴入射角 θ₁ (deg)，纵轴折射角 θ₂。

代数 / 三角 / 复数2D

斯特藩-玻尔兹曼定律

P = σ ε T^{4}

辐射功率 ∝ T⁴。横轴 T (K)。

代数 / 三角 / 复数2D

三角和角公式

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(x+φ) 的相位偏移 = 余弦/正弦组合。

代数 / 三角 / 复数2D

ζ_{k} = e^{2 π ik / n}

n 次单位根均匀分布在单位圆上，构成正 n 边形顶点。

代数 / 三角 / 复数2D

维恩位移定律

λ_{ma x} = \frac{b}{T}, b = 2898 μ m \cdot K

峰值波长反比于温度。横轴 T (K)，纵轴 λ_max (μm)。

代数 / 三角 / 复数2D

杨氏双缝干涉

I = I_{0} cos^{2} (\frac{π d s i n θ}{λ})

横轴 sinθ，亮暗条纹。

代数 / 三角 / 复数2D

肌动蛋白丝 (F-actin)

double helix, 13 monomers/turn

两条 G-actin 链缠绕形成丝状结构。

生物 / 基因 / 分子3D

\frac{d N}{d t} = r N (1 - \frac{N}{K}) (\frac{N}{A} - 1)

低密度负增长，需阈值 A。

生物 / 基因 / 分子2D

异速生长定律

Y = a M^{b}

代谢率 ∝ M^{3/4}（Kleiber）。

生物 / 基因 / 分子2D

蛋白 α 螺旋

3.6 residues/turn, 1.5 \overset{˚}{A} rise

氢键 i→i+4，右手 α 螺旋。

生物 / 基因 / 分子3D

Arrhenius 速率方程

k = A e^{- E_{a} / R T}

温度对反应速率指数依赖。

生物 / 基因 / 分子2D

adenine + ribose + 3 phosphates

细胞能量货币：腺嘌呤+核糖+三磷酸基团。

生物 / 基因 / 分子3D

噬菌体 (Bacteriophage)

icosahedral head + tail + fibers

T4 噬菌体经典形态：头-颈-尾-纤维。

生物 / 基因 / 分子3D

β 桶状结构

closed parallel β-sheet

GFP / 膜孔蛋白的桶形结构。

生物 / 基因 / 分子3D

蛋白 β 折叠片

parallel/antiparallel pleated sheet

链间氢键的 zig-zag 平面结构。

生物 / 基因 / 分子3D

E = K mn e^{- λ S}

比对显著性随 score 指数衰减。

生物 / 基因 / 分子2D

Boltzmann 通道激活曲线

P_{o p e n} = \frac{1}{1 + e ^{(V_{1/2} - V) / k}}

电压门控通道激活概率。

生物 / 基因 / 分子2D

蛋白折叠热分布

f_{F} = \frac{1}{1 + e ^{Δ G / R T}}

随温度变化的折叠分数。

生物 / 基因 / 分子2D

染色体凝集进度

interphase \to metaphase

松散染色质 → 凝集染色体。t=0..1。

生物 / 基因 / 分子3D

共祖时间分布

P (T_{M R C A} = t) \propto (2 k) e^{- (2 k) t / (2 N)}

k 序列的最近共祖时间指数分布。

生物 / 基因 / 分子2D

密码子第三位中性

G C_{3} \sim p_{GC}

密码子第三位 GC 含量近中性。横轴 GC%。

生物 / 基因 / 分子2D

竞争性抑制

v = \frac{V _{ma x} S}{K _{m} ( 1 + I / K _{i} ) + S}

抑制剂提高表观 Km。

生物 / 基因 / 分子2D

DNA 双螺旋 (B 型)

2 strands, 10.5 bp/turn, 3.4 \overset{˚}{A} rise

B-form 右手螺旋，AT/GC 配对桥连。

生物 / 基因 / 分子3D

DNA 熔解曲线

f (T) = \frac{1}{1 + e ^{(T_{m} - T) / σ}}

升温双链解链分数。

生物 / 基因 / 分子2D

DNA Z 型左手螺旋

12 bp/turn, left-handed, zig-zag

高盐 + GC 重复序列下的左手螺旋。

生物 / 基因 / 分子3D

Eadie-Hofstee 图

v = V_{ma x} - K_{m} \frac{v}{S}

v 对 v/S 的线性化。

生物 / 基因 / 分子2D

Einstein 扩散关系

⟨ r^{2} ⟩ = 6 D t

布朗粒子均方位移线性增长。

生物 / 基因 / 分子2D

药效 Emax 模型

E = \frac{E _{ma x} D}{E D _{50} + D}

药效随剂量饱和。

生物 / 基因 / 分子2D

真核细胞剖面

nucleus + mito + ER + golgi

胞膜内含细胞核与多种细胞器。

生物 / 基因 / 分子3D

Eyring 过渡态理论

k = \frac{k _{B} T}{h} e^{- Δ G^{‡} / R T}

活化自由能决定速率。

生物 / 基因 / 分子2D

Fick 扩散定律

J = - D \frac{d C}{d x}

通量正比于浓度梯度。横轴 dC/dx。

生物 / 基因 / 分子2D

自由连接链

⟨ R^{2} ⟩ = N b^{2}

高斯链端到端均方距离 ∝ N。

生物 / 基因 / 分子2D

Fst 群体分化

F_{S T} = 1 - (1 - 1/ (2 N))^{t}

孤立群体分化随代数。

生物 / 基因 / 分子2D

Galton-Watson 灭绝概率

q = e^{λ (q - 1)}

Poisson 后代分支过程灭绝率。

生物 / 基因 / 分子2D

GC 含量滑窗

GC (x) = \frac{1}{w} \sum_{i = x}^{x + w} [ba se \in {G, C}]

示意 sigmoid 切换的 GC 岛。

生物 / 基因 / 分子2D

遗传漂变方差

V_{t} = p_{0} q_{0} (1 - (1 - 1/ (2 N))^{t})

有限种群中等位基因频率方差随代数。

生物 / 基因 / 分子2D

Goldman-Hodgkin-Katz

V_{m} = \frac{R T}{F} ln \frac{P _{K} [ K ] _{o} + P _{N a} [ N a ] _{o} + P _{C l} [ C l ] _{i}}{P _{K} [ K ] _{i} + P _{N a} [ N a ] _{i} + P _{C l} [ C l ] _{o}}

静息膜电位（K/Na/Cl 加权）。横轴 PNa/PK。

生物 / 基因 / 分子2D

Gompertz 生长

y (t) = a e^{- b e^{- c t}}

肿瘤/细胞数典型曲线。

生物 / 基因 / 分子2D

半衰期消除

C (t) = C_{0} \cdot 2^{- t / t_{1/2}}

每过 t½，浓度减半。

生物 / 基因 / 分子2D

Hardy-Weinberg 平衡

p^{2} + 2 pq + q^{2} = 1

横轴 p，三条线为 AA / Aa / aa。

生物 / 基因 / 分子2D

血红蛋白四聚体

α_{2} β_{2}

两个 α 链 + 两个 β 链，每个含血红素。

生物 / 基因 / 分子3D

θ = \frac{S ^{n}}{K ^{n} + S ^{n}}

协同结合，n>1 sigmoid。

生物 / 基因 / 分子2D

Holling 第二型反应

f (N) = \frac{a N}{1 + a T _{h} N}

捕食率随猎物饱和。

生物 / 基因 / 分子2D

Holling 第三型反应

f (N) = \frac{a N ^{2}}{1 + a T _{h} N ^{2}}

sigmoid 捕食率（学习/切换）。

生物 / 基因 / 分子2D

Jukes-Cantor 距离

d = - \frac{3}{4} ln (1 - \frac{4}{3} p)

同时取代修正后的进化距离。

生物 / 基因 / 分子2D

Kimura 固定概率

u (p) = \frac{1 - e ^{- 4 N s p}}{1 - e ^{- 4 N s}}

选择性等位基因固定概率。

生物 / 基因 / 分子2D

Kosambi 遗传图距

d = \frac{1}{4} ln \frac{1 + 2 r}{1 - 2 r}

考虑干扰的图距。

生物 / 基因 / 分子2D

Lineweaver-Burk 双倒数图

\frac{1}{v} = \frac{K _{m}}{V _{ma x}} \frac{1}{S} + \frac{1}{V _{ma x}}

米氏方程的线性化变换。

生物 / 基因 / 分子2D

two leaflets, hydrophobic core

磷脂头朝外，疏水尾对齐。

生物 / 基因 / 分子3D

Logistic 种群增长

N (t) = \frac{K}{1 + ( K / N _{0} - 1 ) e ^{- r t}}

有限承载力的种群曲线。

生物 / 基因 / 分子2D

胶束 (Micelle)

spherical surfactant cluster

两亲分子球形聚集，头朝外。

生物 / 基因 / 分子3D

米氏酶动力学

v = \frac{V _{ma x} S}{K _{m} + S}

酶反应速率随底物浓度饱和。

生物 / 基因 / 分子2D

微管 (Microtubule)

13 protofilaments, αβ-tubulin dimers

13 条原丝构成的中空管。

生物 / 基因 / 分子3D

线粒体 (Mitochondrion)

outer + inner cristae membrane

外膜光滑，内膜折叠成嵴产生 ATP。

生物 / 基因 / 分子3D

有丝分裂纺锤体

centrosomes + kinetochore microtubules

两极中心体伸出微管牵引染色体。

生物 / 基因 / 分子3D

Monod 微生物增长率

μ = μ_{ma x} \frac{S}{K _{s} + S}

比生长率随基质浓度饱和。

生物 / 基因 / 分子2D

3 nucleotides per codon

mRNA 三联体编码。

生物 / 基因 / 分子3D

突变-选择平衡

\overset{q}{^} \approx μ / s

有害等位基因平衡频率。

生物 / 基因 / 分子2D

MWC 协同模型

\overset{ˉ}{Y} = \frac{L c α ( 1 + c α ) ^{n - 1} + α ( 1 + α ) ^{n - 1}}{L ( 1 + c α ) ^{n} + ( 1 + α ) ^{n}}

变构酶 Monod-Wyman-Changeux。

生物 / 基因 / 分子2D

E = \frac{R T}{z F} ln \frac{[ i o n ] _{o u t}}{[ i o n ] _{in}}

离子平衡电位。

生物 / 基因 / 分子2D

神经元 (示意)

soma + dendrites + axon + terminals

胞体、树突、轴突、突触末梢。

生物 / 基因 / 分子3D

中性替代率

k = μ

Kimura: 中性突变固定率等于突变率。横轴 μ。

生物 / 基因 / 分子2D

非竞争性抑制

v = \frac{V _{ma x} S / ( 1 + I / K _{i} )}{K _{m} + S}

抑制剂降低表观 Vmax。

生物 / 基因 / 分子2D

147 bp DNA wrapped 1.65 turns around histone octamer

染色质基本单位：DNA 缠绕 8 聚体组蛋白核心。

生物 / 基因 / 分子3D

静脉一室模型

C (t) = C_{0} e^{- k_{e} t}

单次静推后血药浓度。

生物 / 基因 / 分子2D

口服一室模型

C (t) = \frac{F k _{a} D}{V ( k _{a} - k _{e} )} (e^{- k_{e} t} - e^{- k_{a} t})

吸收-消除双指数。

生物 / 基因 / 分子2D

蛋白随机折叠

self-avoiding walk

随机角度自洽行走模拟肽链折叠。

生物 / 基因 / 分子3D

Haldane 遗传图距

d = - \frac{1}{2} ln (1 - 2 r)

重组率→图距 cM。横轴 r。

生物 / 基因 / 分子2D

核糖体 (大小亚基)

50S + 30S subunits

蛋白合成机器，两亚基夹合 mRNA。

生物 / 基因 / 分子3D

RNA 茎-环结构

stem helix + loop

RNA 二级结构：双链茎 + 单链环。

生物 / 基因 / 分子3D

单代选择 Δp

Δ p = \frac{s pq}{w ˉ}

每代等位基因频率变化。

生物 / 基因 / 分子2D

Sigmoid Emax (Hill)

E = \frac{E _{ma x} D ^{γ}}{E D _{50}^{γ} + D ^{γ}}

sigmoidicity γ 决定陡度。

生物 / 基因 / 分子2D

Na/K-ATPase pump

3 N a^{+} out, 2 K^{+} in

跨膜钠钾泵示意：3 Na 出 / 2 K 入。

生物 / 基因 / 分子3D

Stokes-Einstein 关系

D = \frac{k _{B} T}{6 π η r}

扩散系数反比于半径。横轴 r (nm)。

生物 / 基因 / 分子2D

DNA 超螺旋能量

G (σ) = \frac{1}{2} K (N) σ^{2}

超螺旋密度 σ 的二次能量。

生物 / 基因 / 分子2D

vesicles release neurotransmitter into cleft

突触前、间隙、突触后膜与递质囊泡。

生物 / 基因 / 分子3D

tRNA cloverleaf

4 stem-loops in clover shape

tRNA 二级结构：D臂、反密码子臂、TΨC臂、接受臂。

生物 / 基因 / 分子3D

反竞争性抑制

v = \frac{V _{ma x} S}{K _{m} + S ( 1 + I / K _{i} )}

抑制剂降低 Vmax 和 Km。

生物 / 基因 / 分子2D

病毒衣壳 (二十面体)

T= n icosahedral capsid

蛋白亚基对称排布，T 数控复杂度。

生物 / 基因 / 分子3D

von Bertalanffy 生长

L (t) = L_{\infty} (1 - e^{- k (t - t_{0})})

渐近生长曲线（鱼类等）。

生物 / 基因 / 分子2D

蠕虫状链 (WLC)

⟨ R^{2} ⟩ = 2 L_{p} L - 2 L_{p}^{2} (1 - e^{- L / L_{p}})

刚柔过渡，Lp 持久长度。

生物 / 基因 / 分子2D

Zimm-Bragg 螺旋-线团转变

θ = \frac{1}{2} + \frac{s - 1}{2 ( s - 1 ) ^{2} + 4 σ s}

肽链螺旋分数随 s。σ 控锐度。

生物 / 基因 / 分子2D

L = \int_{a}^{b} 1 + f^{'} (x)^{2} d x

数值估算 sin 在 [a,b] 上的弧长。

微积分 / 级数2D

\frac{d}{d x} f (g (x)) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

函数 + 导数对照。

微积分 / 级数2D

\sum x^{n} = \frac{1}{1 - x}, ∣ x ∣ < 1

几何级数仅在 |x|<1 收敛，N→∞ 部分和爆炸于 R 之外。

微积分 / 级数2D

κ = \frac{∣ f ^{''} ∣}{( 1 + f ^{'2} ) ^{3/2}}

抛物线在每点画密接圆。

微积分 / 级数2D

导数=切线斜率

f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

割线 → 切线。h→0。

微积分 / 级数2D

Dirac δ（高斯近似）

δ_{ϵ} (x) = \frac{1}{ϵ π} e^{- x^{2} / ϵ^{2}}

宽度 ε→0 时趋于 δ。

微积分 / 级数2D

散度定理（2D 版）

⭐⭐⭐⭐⭐

\oint F \cdot n d s = \iint \nabla \cdot F d A

通过边界的通量 = 内部散度积分。

微积分 / 级数2D

二重积分（黎曼柱）

\iint_{R} f (x, y) d A

矩形区域上 f=x²+y² 的二重积分数值估计。

微积分 / 级数2D

Euler-Maclaurin 公式

⭐⭐⭐⭐⭐

\sum_{k = 1}^{n} f (k) \approx \int_{1}^{n} f + \frac{f ( 1 ) + f ( n )}{2}

离散和与积分的桥梁。

微积分 / 级数2D

傅里叶级数

f (x) = \sum a_{k} cos k x + b_{k} sin k x

方/锯/三角波由谐波叠加。Gibbs 现象在阶跃处显现。

微积分 / 级数2D

lim_{N \to \infty} overshoot \approx 8.95%

阶跃处过冲约 9%，永不消失。

微积分 / 级数2D

格林定理（面积公式）

A = \frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)

用边界曲线计算包围面积。

微积分 / 级数2D

Heaviside 阶跃 (sigmoid 近似)

H_{k} (x) = \frac{1}{1 + e ^{- k x}}

k→∞ → 阶跃函数。

微积分 / 级数2D

隐函数微分（圆）

\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}

圆 x²+y²=r² 的切线斜率。

微积分 / 级数2D

定积分=面积

\int_{a}^{b} f (x) d x

拖动 a/b，面积可正可负。

微积分 / 级数2D

雅可比变换（极坐标）

J = (cos θ sin θ - r sin θ r cos θ)

极坐标 (r, θ) → (x, y) 在某点的雅可比。

微积分 / 级数2D

拉普拉斯变换

F (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

常见 f(t) 的 F(s)（s > 极点）。

微积分 / 级数2D

洛必达型 0/0

lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

x→0 时常见的 0/0 型极限。

微积分 / 级数2D

ε-δ 极限定义

\forall ϵ \exists δ : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - L ∣ < ϵ

ε 区域内 f 输出，δ 区域内 x 输入。

微积分 / 级数2D

线积分（沿曲线）

\int_{C} f d s

圆周路径上 f=x²+y² 的线积分。

微积分 / 级数2D

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

区间内必存在 c 使切线平行于割线。

微积分 / 级数2D

偏导（曲面切片）

\partial f / \partial x = lim \frac{f ( x + h , y ) - f ( x , y )}{h}

f(x,y)=sin(ax)cos(by) 曲面。

微积分 / 级数2D

相关变化率（梯子滑落）

\frac{d y}{d t} = - \frac{x}{y} \frac{d x}{d t}

梯子靠墙底端外移，顶端下落速率。

微积分 / 级数2D

\int_{a}^{b} f \approx \sum f (x_{i}) Δ x

矩形/中点/梯形逼近积分。

微积分 / 级数2D

arctan x = \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{2 k + 1}}{2 k + 1}

仅 |x|<=1 收敛。Leibniz π/4=1-1/3+1/5...

微积分 / 级数2D

数项级数收敛比较

\sum a_{n}

调和/p-级数/几何部分和增长对比。

微积分 / 级数2D

泰勒级数逼近

f (x) = \sum \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k}

调阶数看部分和如何逼近原函数。

微积分 / 级数2D

三重积分（球体可视化）

V = ∭ d V = \frac{4}{3} π r^{3}

球体作为三重积分的几何对象。

微积分 / 级数2D

ζ(2)=π²/6 部分和

\sum 1/ n^{2} = π^{2} /6

Basel 问题：1+1/4+1/9+... = π²/6。

微积分 / 级数2D

Annealing CA (B4678/S35678)

B 4678/ S 35678

稳定大块结构的退火规则。

元胞自动机 / 涌现2D

Boids 群体行为

cohesion+alignment+separation

三规则群体涌现集群飞行。

元胞自动机 / 涌现2D

on/refractory/off

三态元胞，3 邻居打开，1 步不应期。涌现波纹。

元胞自动机 / 涌现2D

接触过程（流行病阈值）

λ > λ_{c} \Rightarrow infection persists

感染率 λ 超过临界值 → 持续传播。

元胞自动机 / 涌现2D

Conway 滑翔机

period-4 mover

5 格图样每 4 步移动 1 格。

元胞自动机 / 涌现2D

循环 CA (Greenberg-Hastings)

k + 1 \to 0 \to ... \to k

多色循环 → 螺旋波。

元胞自动机 / 涌现2D

Day & Night (B3678/S34678)

B 3678/ S 34678

对偶规则，背景翻转后规则不变。

元胞自动机 / 涌现2D

Elementary CA Rule 110（图灵完备）

Rule 110

已被证明图灵完备的简单 1D CA。

元胞自动机 / 涌现2D

cell falls if cell below empty

重力沙模拟，简单元胞规则。

元胞自动机 / 涌现2D

p grow, f ignite

树/火/空，雷击点燃 + 自然生长，临界相变。

元胞自动机 / 涌现2D

康威生命游戏

B3/S23

细胞 = 0/1，3 邻居生，2/3 邻居存活。

元胞自动机 / 涌现2D

HighLife (B36/S23)

B 36/ S 23

生命变种，含 replicator 复制子。

元胞自动机 / 涌现2D

HPP 格子气体

4-direction collisions

格子上 4 方向粒子碰撞 → 流体涌现。

元胞自动机 / 涌现2D

turn left/right per cell color

白格右转翻黑，黑格左转翻白。10000 步后构建"高速公路"。

元胞自动机 / 涌现2D

Lenia（连续生命）

⭐⭐⭐⭐⭐

A_{t + 1} = [A_{t} + Δ t \cdot G (K * A_{t})]_{[0, 1]}

连续值 + 平滑核 → 软体生物涌现。

元胞自动机 / 涌现2D

Maze CA (B3/S12345)

B 3/ S 12345

生成迷宫风格图案的元胞规则。

元胞自动机 / 涌现2D

Gray-Scott 反应扩散

\partial_{t} U = D_{u} \nabla^{2} U - U V^{2} + F (1 - U)

细胞分裂/孔洞/迷宫斑纹（feed/kill 决定）。

元胞自动机 / 涌现2D

Replicator (B1357/S1357)

B 1357/ S 1357

每个图案最终复制并填满。

元胞自动机 / 涌现2D

Sandpile 双源

toppling 4-rule

两个源同时倒沙的干涉图样。

元胞自动机 / 涌现2D

toppling: 4 \to 4 \times 1

每格 ≥4 时向 4 邻居倒沙。临界态 → 复杂图样。

元胞自动机 / 涌现2D

B 2/ S

每代细胞死，2 邻居诞生。混乱涌现。

元胞自动机 / 涌现2D

雪花 CA (B1/S0...8)

B 1/ S any

每代细胞遇 1 邻居就生 → 类雪花分形。

元胞自动机 / 涌现2D

1D Totalistic CA

rule based on neighborhood sum

代码 0..255 决定 8 种总和模式。

元胞自动机 / 涌现2D

忙海狸 Busy Beaver (3-state)

⭐⭐⭐⭐⭐

S\to R/L/halt

3 状态图灵机执行轨迹。

元胞自动机 / 涌现2D

Turing 斑纹（动物毛皮）

Activator-inhibitor RD

激活-抑制反应扩散 → 斑点 / 条纹。

元胞自动机 / 涌现2D

Turing 条纹（feed/kill 调）

Gray-Scott variant

调 feed/kill 出条纹 / 斑点。

元胞自动机 / 涌现2D

P (flip) = # opposite /4

每代随机抄一个邻居 → 大块同意见区域。

元胞自动机 / 涌现2D

Wolfram 1D 元胞自动机

rule 0 \leq r \leq 255

rule 30 混沌, rule 90 谢尔宾斯基, rule 110 图灵完备。

元胞自动机 / 涌现2D

Arrhenius 反应速率 (化学)

k = A e^{- E_{a} / R T}

温度对反应速率的指数依赖。横轴 T (K)。

化学 / 反应 / 分子2D

甲烷 CH₄ (四面体)

∠ HCH = 109.47°

sp³ 杂化，正四面体几何。

化学 / 反应 / 分子3D

酸碱滴定曲线

\text{pH vs V_{base}/V_{eq}}

弱酸-强碱滴定的 sigmoid pH 曲线。

化学 / 反应 / 分子2D

反应能垒图

E (ξ) : reactants \to TS \to products

反应坐标 ξ 上的能量曲线：反应物 → 过渡态 → 产物。

化学 / 反应 / 分子2D

SN2 反应轨迹

N u^{-} + R - L G \to N u - R + L G^{-}

亲核试剂背面进攻，构型反转 (Walden 翻转)。

化学 / 反应 / 分子3D

水分子 H₂O

∠ HOH \approx 104.5°

sp³ 杂化的弯曲分子，键角 104.5°。

化学 / 反应 / 分子3D

生日攻击概率

P \approx 1 - e^{- n^{2} / (2 N)}

n 个哈希值碰撞概率。横轴 n / √N。

密码 / 编码2D

离散对数 g^k mod p

g^{k} mod p

循环群中点的轨迹。

密码 / 编码2D

椭圆曲线 y² = x³ + ax + b

y^{2} = x^{3} + a x + b

实数域椭圆曲线形状。

密码 / 编码2D

欧拉函数 φ(n)

φ (n) = ∣ {k \leq n : g cd (k, n) = 1} ∣

RSA 密钥生成的核心。

密码 / 编码2D

Hamming(7,4) 编码

4 data + 3 parity = 7 bits

单错检测纠正：奇偶位覆盖位置组。

密码 / 编码2D

Hamming distance / n \approx 0.5

1 bit 输入变化 → 输出 ~50% bit 翻转。

密码 / 编码2D

Huffman 编码树

frequent symbols \to shorter codes

最优前缀编码。

密码 / 编码2D

recursive hash of leaves

区块链交易摘要结构。

密码 / 编码2D

素数定理 π(x) ≈ x/ln(x)

π (x) \sim x / ln x

渐近素数分布。

密码 / 编码2D

RSA 破解时间增长

T \sim e^{c (n l o g n)^{1/3}}

GNFS 子指数复杂度。横轴位长 n。

密码 / 编码2D

Shannon 信道容量

C = B lo g_{2} (1 + S / N)

信噪比与容量。横轴 SNR (dB)。

密码 / 编码2D

H (p) = - p lo g_{2} p - (1 - p) lo g_{2} (1 - p)

p=0.5 时熵最大。

密码 / 编码2D

阿波罗尼斯垫片

recursive tangent circle packing

每三互切圆生两个 Descartes 切圆。

分形 / 混沌2D

盒计数维数

D = lim \frac{l o g N ( ϵ )}{l o g 1/ ϵ}

Koch 雪花的盒计数维数 ≈ log4/log3。

分形 / 混沌2D

盒分形 (5 角)

5 sub-boxes (corners + center)

方块四角+中心保留，递归。

分形 / 混沌2D

⭐⭐⭐⭐⭐

trajectory density of escaping orbits

Mandelbrot 发散轨迹的累积密度。

分形 / 混沌2D

燃烧船 Julia

z \to (∣ x ∣ + i ∣ y ∣)^{2} + c

固定 c，对 z 平面着色。

分形 / 混沌2D

Burning Ship 分形

z_{n + 1} = (∣ x_{n} ∣ + i ∣ y_{n} ∣)^{2} + c

船型分形：每步先取分量绝对值。

分形 / 混沌2D

4 corner contractions, 1/3

方形 4 角不断 1/3 缩放。

分形 / 混沌2D

remove middle third

递归挖掉中间 1/3 区间。

分形 / 混沌2D

2 contractive maps at 55°

Koch 推广，55° 角的极限分形。

分形 / 混沌2D

扩散限制聚集 (DLA)

Brownian sticky aggregation

随机粒子游走粘到中心种子 → 树突。

分形 / 混沌2D

Heighway 龙曲线

paper folding

纸条对折展开极限即龙曲线。

分形 / 混沌2D

Feigenbaum 倍周期

⭐⭐⭐⭐⭐

δ \approx 4.6692

tent map / 三次 map 的分岔图。

分形 / 混沌2D

recursive H pattern

每层缩放绘制 H 形。

分形 / 混沌2D

3D Hilbert 曲线

⭐⭐⭐⭐⭐

3D space-filling

递归填充立方体。

分形 / 混沌3D

IFS: 4 仿射映射加权

4 个仿射映射 + 概率权重生成蕨叶。

分形 / 混沌2D

4 contractions

四映射逼近的叶形吸引子。

分形 / 混沌2D

2 contraction maps with rotation

两映射螺旋吸引子。

分形 / 混沌2D

4 affine maps

四映射树状吸引子。

分形 / 混沌2D

Julia 旋转动画

c = r e^{i θ (t)}

c 沿单位圆游走，Julia 不断变形。

分形 / 混沌2D

Julia 集 c 巡游

z \to z^{2} + c

细调 c 看 Julia 形态突变。

分形 / 混沌2D

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c

固定 c，初值 z₀ 扫遍复平面。

分形 / 混沌2D

反向 Koch（向内）

indent instead of out

每段向内凹折 → 反 Koch。

分形 / 混沌2D

四次 Koch 曲线

8 segments scaled 1/4

方形齿状 Koch 推广。

分形 / 混沌2D

每边 \to 4 段，长 1/3

三角形每边迭代尖凸。

分形 / 混沌2D

rotate \pm45°, scale 1/ 2

两次缩放旋转的自相似曲线。

分形 / 混沌2D

P (L) \propto L^{- α}

步长服从幂律 → 长跳跃 + 簇集。

分形 / 混沌2D

逻辑斯蒂映射

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n})

蛛网图：抛物线 + y=x 的迭代轨迹。

分形 / 混沌2D

F \to F + F - F - F + F

符号迭代生成分形：Koch/Dragon/Sierpinski/Plant。

分形 / 混沌2D

Lyapunov 分形

⭐⭐⭐⭐⭐

λ = lim \frac{1}{N} \sum lo g ∣ f^{'} (x_{n}) ∣

AB 序列下 logistic 映射的 Lyapunov 指数。

分形 / 混沌2D

Mandelbar (Tricorn)

z \to \overset{z}{ˉ}^{2} + c

共轭映射的 Mandelbrot 变体。

分形 / 混沌2D

⭐⭐⭐⭐⭐

box-fold + sphere-fold + scale + c

盒折+球折迭代生成器。

分形 / 混沌2D

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c

复迭代发散判定。zoom + center 探索。

分形 / 混沌2D

Menger 立方体（2D 投影）

20 sub-cubes

每方块切 27，去 7 → 20 留下。

分形 / 混沌2D

Minkowski 香肠

8 segments per generator

方形拐弯递推的四进制曲线。

分形 / 混沌2D

立方 Multibrot

z \to z^{3} + c

三阶 Mandelbrot 推广。

分形 / 混沌2D

Multibrot z^d+c

z \to z^{d} + c

调指数 d 看 Mandelbrot 的推广形态。

分形 / 混沌2D

Newton 分形（z³−1）

z \to z - \frac{p ( z )}{p ^{'} ( z )}

按收敛到的根上色。

分形 / 混沌2D

z \to z - (z^{3} - 1) / (3 z^{2}) + c

松弛 Newton + 加 c 偏移。

分形 / 混沌2D

Peano 填空间曲线 (Hilbert)

space-filling

Hilbert 曲线递归填充正方形。

分形 / 混沌2D

分形噪声 (fBm)

f B m = \sum a^{i} n (b^{i} x)

多倍频噪声叠加 = 分形布朗运动。

分形 / 混沌2D

⭐⭐⭐⭐⭐

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c + p z_{n - 1}

引入前一步反馈项 p。

分形 / 混沌2D

毕达哥拉斯树

recursive squares + triangle splits

每个方块顶部生两个旋转的子方块。

分形 / 混沌2D

Sierpinski 箭头

3 maps, 60° rotations

生成 Sierpinski 三角的曲线版本。

分形 / 混沌2D

Sierpinski 地毯

8 个 1/3 缩仿射

方形挖中心，递归 8 个子方形。

分形 / 混沌2D

Sierpinski 三角

3 半缩仿射

三角形递归挖洞。

分形 / 混沌2D

Aizawa 奇异吸引子

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙} = (z - b) x - d y, \overset{y}{˙} = d x + (z - b) y

Aizawa 系统的盘形分形结构。

分形 / 混沌2D

Takagi 函数 (布满杰)

T (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{- n} s (2^{n} x), s (x) = min_{k} ∣ x - k ∣

连续但处处不可微。

分形 / 混沌2D

Terdragon (三龙曲线)

3 maps, scale 1/ 3, \pm30°

L 系统 F+F-F 的几何自相似。

分形 / 混沌2D

Tricorn (Mandelbar)

z \to \overset{z}{ˉ}^{2} + c

用共轭代替 z，对称破碎。

分形 / 混沌2D

Weierstrass 函数

W (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} cos (b^{n} π x)

连续处处不可微的经典反例。

分形 / 混沌2D

贝塞尔曲线（de Casteljau）

B (t) = \sum (i n) (1 - t)^{n - i} t^{i} P_{i}

4 控制点拖动，看 t 处递归插值。

几何 / 解析几何2D

Cassini 卵形线

r^{4} - 2 a^{2} r^{2} cos 2 θ + a^{4} = b^{4}

两定点积距离不变。a<b 椭圆，a=b lemniscate，a>b 双叶。

几何 / 解析几何2D

三角形重心

G = (A + B + C) /3

三条中线的交点 = 重心。

几何 / 解析几何2D

P \to P^{'} 使 ∣ O P ∣∣ O P^{'} ∣ = r^{2}

网格在反演下变弧线。

几何 / 解析几何2D

ρ_{2 D} = \frac{π}{2 3}

平面最密堆积六边形格，密度 ≈ 0.9069。

几何 / 解析几何2D

Diocles 蔓叶线

r = 2 a sin^{2} θ / cos θ

倍立方问题的求解曲线。

几何 / 解析几何2D

圆锥曲线（极坐标）

r = \frac{l}{1 - e c o s θ}

离心率 e<1 椭圆，e=1 抛物线，e>1 双曲线。

几何 / 解析几何2D

摆线生成动画

(r (t - sin t), r (1 - cos t))

圆滚动留下的轨迹 = 摆线。

几何 / 解析几何2D

椭圆焦点性质

r_{1} + r_{2} = 2 a

椭圆 = 到两焦点距离之和恒定的轨迹。

几何 / 解析几何2D

笛卡尔叶形线

x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0

参数化形式。

几何 / 解析几何2D

黄金分割矩形

ϕ = \frac{1 + 5}{2}

递归切正方形，留下黄金矩形。

几何 / 解析几何2D

心形参数曲线

(16 sin^{3} t, 13 cos t - 5 cos 2 t - 2 cos 3 t - cos 4 t)

经典心形闭曲线。

几何 / 解析几何2D

柏拉图正多面体

tetra/octa/icosa/dodeca

5 种正多面体可视化。

几何 / 解析几何3D

格点 gcd 视图

g cd (x, y)

整点上 gcd 着色。

几何 / 解析几何2D

伯努利双纽线

r^{2} = a^{2} cos 2 θ

∞ 形闭曲线。

几何 / 解析几何2D

帕斯卡蜗线

r = a + b cos θ

a<b 内环，a=b 心脏线，a>b 凸卵形。

几何 / 解析几何2D

参数曲线集

(x, y) = (f (t), g (t))

摆线/星型线/心形线/外摆线。

几何 / 解析几何2D

极坐标玫瑰

r = a cos (k θ)

k 偶得 2k 瓣，k 奇得 k 瓣。

几何 / 解析几何2D

正多边形 → 圆

lim_{n \to \infty} P_{n} = circle

n 越大正 n 边形越接近圆。

几何 / 解析几何2D

V = \frac{1}{3} π h^{2} (3 r - h)

高度 h 的球冠（截球面渲染）。

几何 / 解析几何2D

阿基米德螺线

r = a + b θ

相邻螺臂等距 = 阿基米德螺线。

几何 / 解析几何2D

对数螺线（黄金螺线）

r = a e^{b θ}

每转一圈半径乘 e^{2πb}。b=0.306 → 黄金螺线。

几何 / 解析几何2D

万花尺（Hypotrochoid）

(R - r) cos t + d cos \frac{R - r}{r} t

大圆 R 内滚小圆 r，固定点画轨迹。

几何 / 解析几何2D

超椭圆（Lamé 曲线）

\frac{x}{a}^{n} + \frac{y}{b}^{n} = 1

n=2 椭圆，n→∞ 矩形，n=2/3 星形线。

几何 / 解析几何2D

三角形内切圆

r = \frac{Area}{s}

内切圆半径 = 面积 / 半周长。

几何 / 解析几何2D

变形摆线 (Trochoid)

(r t - d sin t, r - d cos t)

d≠r 时摆线变形（curtate / prolate）。

几何 / 解析几何2D

V (p) = {x : ∣ x - p ∣ \leq ∣ x - p_{i} ∣ \forall i}

每点最近站点的色块 = Voronoi 图。

几何 / 解析几何2D

Agnesi 巫女线

y = \frac{8 a ^{3}}{x ^{2} + 4 a ^{2}}

柯西分布的几何曲线。

几何 / 解析几何2D

近日点进动 (水星)

Δ ϕ = 6 π GM / (c^{2} a (1 - e^{2}))

GR 修正使椭圆轨道进动。

广义相对论 / 微分几何2D

Δ f / f = 1 - 1 - r_{s} / r

光线逃离引力井损失能量。

广义相对论 / 微分几何2D

引力波 chirp

h (t) \propto t^{- 1/4} cos (ϕ (t))

双星合并波形频率上升。

广义相对论 / 微分几何2D

光线引力偏折

α = 4 GM / (b c^{2})

光绕过质量 M，偏折角 ∝ 1/b。

广义相对论 / 微分几何2D

洛伦兹收缩

L = L_{0} 1 - v^{2} / c^{2}

运动方向长度收缩。横轴 β。

广义相对论 / 微分几何2D

Schwarzschild 漏斗

z (r) = 2 r_{s} (r - r_{s})

弯曲时空的 Flamm 嵌入。

广义相对论 / 微分几何3D

Schwarzschild 度量分量

g_{tt} = - (1 - r_{s} / r)

引力时间膨胀因子。横轴 r/rs。

广义相对论 / 微分几何2D

引力时间膨胀

d t = d τ / 1 - r_{s} / r

外部时间相对本地原时膨胀。

广义相对论 / 微分几何2D

BA 无标度网络

P (k) \propto k^{- γ}

优先连接产生幂律度分布。

图论 / 算法2D

BFS 广度优先

level-order from root

同心环展示访问层级。

图论 / 算法2D

二部图匹配

K \overset{o}{¨} nig theorem: max matching = min cover

两侧节点最优配对。

图论 / 算法2D

凸包 (Graham scan)

smallest convex polygon

随机点集的凸包。

图论 / 算法2D

幂律度分布

P (k) \propto k^{- γ}

无标度网络的特征分布。

图论 / 算法2D

欧拉路径 (Königsberg)

exists iff \leq 2 odd-degree vertices

七桥问题：奇度顶点 4 个 → 无解。

图论 / 算法2D

力导向图布局

spring + repulsion

弹簧拉近相邻，电荷推远全部。

图论 / 算法2D

图着色 (贪心)

χ (G) \leq Δ (G) + 1

相邻顶点不同色。

图论 / 算法2D

立方图哈密顿环

cycle visiting all 8 vertices

立方体上的哈密顿回路。

图论 / 算法3D

PageRank 收敛

P R^{(t + 1)} = d M P^{(t)} + (1 - d) / N

误差随迭代指数衰减。横轴 t。

图论 / 算法2D

Erdős-Rényi 随机图

G (n, p) : 每边概率 p

p > log(n)/n 时连通。

图论 / 算法2D

小世界网络 (Watts-Strogatz)

rewire prob p

规则环 + 随机重连产生小世界。

图论 / 算法2D

最小生成树 (Kruskal)

MST: total weight minimized

按边权升序加入不成环边。

图论 / 算法2D

TSP 最近邻贪心

at each step: visit nearest unvisited

快速但非最优解。

图论 / 算法2D

仿射变换组合

A = R (θ) S (s_{x}, s_{y})

旋转 + 缩放复合矩阵。

Cholesky 分解

A = L L^{T}

对称正定 A 唯一分解。

条件数（病态）

κ (A) = σ_{1} / σ_{2}

条件数大 → 椭圆细长 → 数值病态。

a \times b

结果向量垂直于 a, b。

行列式 = 面积

det A = a d - b c

两列向量张成平行四边形的有向面积 = 行列式。

点积 / 叉积（2D）

a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ, a \times b = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ

点积 = 投影长，叉积 = 平行四边形面积。

2D 特征向量

A v = λ v

实特征向量沿矩阵作用方向不变。

Gram-Schmidt 正交化

u_{2} = v_{2} - proj_{u_{1}} v_{2}

两向量正交化为单位正交基。

逆矩阵作用

A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} (d - c - b a)

A 的逆把 A 的网格还原。

雅可比矩阵（局部线性化）

J = (\partial f / \partial x \partial f / \partial y)

非线性映射 (sin x, cos y) 在某点的 Jacobian。

Kronecker 乘积（块结构）

A \otimes B

2x2 ⊗ 2x2 = 4x4 块矩阵。

最小二乘拟合

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y

噪声散点的最小二乘直线。

LU 分解（2x2）

A = LU

2x2 矩阵分解为下三角 × 上三角。

矩阵幂收敛于稳态

A^{k} \to rank-1

随机矩阵 A^k 收敛 → 每行近似稳态分布。

2x2 矩阵变换

(a c b d)

网格 + 基向量在线性变换下的形变。

2D 正交旋转矩阵

R (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

保长度+保角度。det=1。

C v = λ v

高斯散点的协方差矩阵特征向量 = 主轴。

幂迭代求主特征向量

v_{k + 1} = A v_{k} /∥ A v_{k} ∥

收敛到主特征向量。

proj_{b} a = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}} b

a 在 b 方向上的投影向量。

A = QR

Gram-Schmidt 分解 A = 正交 Q × 上三角 R。

四元数 Slerp 插值

q (t) = q_{1} (q_{1}^{- 1} q_{2})^{t}

两个旋转之间的最短弧插值。

秩与零空间

dim N (A) + rank (A) = n

2x2 矩阵的列空间（黄）+ 零空间（红）。

R_{θ} = (cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ)

沿与 x 轴成 θ 的直线反射。det=-1。

3D 旋转矩阵

R = R_{z} R_{y} R_{x}

欧拉角合成的 3D 旋转。

(10 k 1)

X 方向剪切。det=1，保面积。

谱半径与稳定性

ρ (A) = max ∣ λ_{i} ∣

特征值在单位圆内 → 迭代收敛。

SVD 几何分解

A = U Σ V^{T}

矩阵 = 旋转 + 缩放 + 旋转。单位圆 → 椭圆。

(A^{T})_{ij} = A_{j i}

2x2 转置 = 沿主对角线翻转。

A \to D \to S \to R

合成器音量包络。

音乐 / 声学2D

sin (2 π f_{1} t) + sin (2 π f_{2} t)

相近频率叠加产生包络拍。

音乐 / 声学2D

三和弦频谱

C + E + G

大三和弦的合成波形。

音乐 / 声学2D

多普勒音高变化

f^{'} = f (c \pm v_{o}) / (c \mp v_{s})

救护车音调高低。横轴 vs/c。

音乐 / 声学2D

十二平均律

f_{n} = 440 \cdot 2^{n /12}

A4=440Hz 的等比频率。

音乐 / 声学2D

y = sin (2 π f_{c} t + I sin (2 π f_{m} t))

调制频率扭曲载波产生新泛音。

音乐 / 声学2D

f_{n} = n f_{0}

整数倍频率叠加。

音乐 / 声学2D

纯律 vs 平均律 (cents 差)

cents = 1200 lo g_{2} (r / 2^{n /12})

各音级的频率偏差。

音乐 / 声学2D

毕达哥拉斯调律

r = (3/2)^{n} mod 2

5度堆叠后归到八度内。

音乐 / 声学2D

sin / □ / saw

基本合成器波形。

音乐 / 声学2D

Collatz 猜想轨迹

n \to n /2 或 3 n + 1

多个起始 n 的奇偶迭代轨迹。

数论 / 离散2D

连分数收敛子

x = a_{0} + \frac{1}{a _{1} + \frac{1}{a _{2} + \dots}}

展示 √2/π/φ 的部分商序列与有理逼近。

数论 / 离散2D

数字根 (mod 9)

dr (n) = 1 + (n - 1) mod 9

1..N 数字根模式。

数论 / 离散2D

因子计数 d(n)

d (n) = # {k : k ∣ n}

素数 d(n)=2，幂多者凸出。

数论 / 离散2D

欧几里得算法可视化

g cd (a, b) = g cd (b, a mod b)

矩形递归切正方形 → gcd。

数论 / 离散2D

F_{n} = {a / b : 0 \leq a / b \leq 1, g cd (a, b) = 1, b \leq n}

阶 n 的 Farey 序列分布。

数论 / 离散2D

Fibonacci 螺线

\frac{F _{n + 1}}{F _{n}} \to ϕ

连续 Fibonacci 正方形拼接 → 黄金螺线。

数论 / 离散2D

高斯圆问题

N (r) = # {(x, y) \in Z^{2} : x^{2} + y^{2} \leq r^{2}}

计数半径 r 圆内整点。N(r) ≈ πr²。

数论 / 离散2D

Goldbach 彗星

g (2 n) = # {p + q = 2 n, p, q prime}

每个偶数表示为两素数之和的方法数。

数论 / 离散2D

Mersenne 素数 2^p−1

M_{p} = 2^{p} - 1

p 素 ≠> M_p 素，但所有 M_p 素的 p 必素。

数论 / 离散2D

Möbius μ 函数

μ (n) \in {- 1, 0, 1}

平方因子 → 0；偶素因子 → 1；奇素因子 → -1。

数论 / 离散2D

模乘圆心形

i \to mi mod n

圆周 n 等分，连 i 到 (m·i) mod n。m=2 心形。

数论 / 离散2D

Fibonacci 增长（log）

F_{n} \sim \frac{ϕ ^{n}}{5}

log F_n 近似线性，斜率 = log φ。

数论 / 离散2D

完全数 / 亏数 / 盈数

σ (n) - n = n ?

σ(n)=2n 完全；<2n 亏；>2n 盈。

数论 / 离散2D

π(n) 与 n/ln n

π (n) \sim n / ln n

素数计数函数 vs 素数定理近似。

数论 / 离散2D

毕达哥拉斯三元组

a^{2} + b^{2} = c^{2}

本原三元组 (a, b, c) 在平面上的分布。

数论 / 离散2D

二次剩余模 p

a \equiv b^{2} (mod p)

p×p 网格，标记是否为二次剩余。

数论 / 离散2D

Recamán 序列

a_{n} = a_{n - 1} - n if not used else + n

用半圆连接相邻数 → 漂亮的螺旋图样。

数论 / 离散2D

埃拉托斯特尼筛

p prime \Rightarrow strike 2 p, 3 p, ...

2..N 网格中筛除合数，留素数。

数论 / 离散2D

Stern-Brocot 树

\frac{a + c}{b + d}

mediant 操作生成所有正有理数。

数论 / 离散2D

∑1/√n 与 2√n 比较

\sum 1/ n \sim 2 n + ζ (1/2)

部分和与渐近线对照。

数论 / 离散2D

与 N 互素的数（mod N）

{k : g cd (k, N) = 1}

圆周 N 等分，互素位置标黄。

数论 / 离散2D

Φ (n) = \sum_{k = 1}^{n} φ (k) \sim \frac{3 n ^{2}}{π ^{2}}

totient 求和 ~ 3n²/π²。

数论 / 离散2D

三角数 T_n=n(n+1)/2

T_{n} = (2 n + 1)

1, 3, 6, 10, ... 几何排成三角形。

数论 / 离散2D

孪生素数分布

p, p + 2 both prime

相差 2 的素数对密度。

数论 / 离散2D

prime (n)?

按螺旋排布整数，标记素数，浮现对角线。

数论 / 离散2D

Riemann ζ 临界线

⭐⭐⭐⭐⭐

ζ (1/2 + i t)

临界线上 |ζ| 的模长，零点 = 黎曼 ζ 零。

数论 / 离散2D

逻辑斯蒂分岔图

⭐⭐⭐⭐⭐

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n})

扫 r ∈ [0,4]，绘制稳态分布。Feigenbaum 倍周期。

ODE / 动力系统2D

Brusselator 化学振子

\overset{x}{˙} = A + x^{2} y - (B + 1) x

三分子化学反应模型，存在极限环。

ODE / 动力系统2D

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙} = a (y - x), \overset{y}{˙} = (c - a) x - x z + cy, \overset{z}{˙} = x y - b z

类洛伦兹结构但参数空间不同。

ODE / 动力系统2D

限制性三体问题（投影）

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{¨} = - \partial U / \partial x

卫星在两大体共转坐标系中的位置。

ODE / 动力系统2D

Dadras 吸引子

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙} = y - p x + q y z

5-参数混沌系统。

ODE / 动力系统2D

⭐⭐⭐⭐⭐

Lagrangian: L = T - V

4 维相空间，对初值极敏感。

ODE / 动力系统2D

\overset{x}{¨} + δ \overset{x}{˙} + α x + β x^{3} = γ cos ω t

非线性弹簧 + 周期外力 → 混沌。

ODE / 动力系统2D

欧拉法 vs 真解

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})

步长 h 越大误差越大。

ODE / 动力系统2D

强制阻尼摆

\ddot{θ} + γ \dot{θ} + sin θ = A cos ω t

外部周期驱动 + 阻尼 → 混沌。

ODE / 动力系统2D

四翼吸引子

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙} = a x + y z, \overset{y}{˙} = b x + cy - x z, \overset{z}{˙} = - z - x y

四翼蝴蝶状混沌。

ODE / 动力系统2D

Halvorsen 吸引子

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙} = - a x - 4 y - 4 z - y^{2}

三轴对称的奇异吸引子。

ODE / 动力系统2D

Kuramoto 同步

\dot{θ}_{i} = ω_{i} + \frac{K}{N} \sum sin (θ_{j} - θ_{i})

N 个振子在耦合 K 下的同步相变。

ODE / 动力系统2D

极限环（Hopf 分岔）

\overset{r}{˙} = μ r - r^{3}

μ>0 时出现稳定极限环（Stuart-Landau）。

ODE / 动力系统2D

Lorenz 96 模型（4 维投影）

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙}_{i} = (x_{i + 1} - x_{i - 2}) x_{i - 1} - x_{i} + F

气候建模简化模型。投影 (x₀, x₁) 平面。

ODE / 动力系统2D

洛伦兹吸引子

\overset{x}{˙} = σ (y - x), \overset{y}{˙} = x (ρ - z) - y, \overset{z}{˙} = x y - β z

σ=10, ρ=28, β=8/3 时混沌；蝴蝶状奇异吸引子。

ODE / 动力系统2D

Lotka-Volterra 捕食模型

\overset{x}{˙} = α x - β x y, \overset{y}{˙} = δ x y - γ y

兔狼模型，闭轨周期解。

ODE / 动力系统2D

Lyapunov 指数（logistic）

⭐⭐⭐⭐⭐

λ = lim \frac{1}{N} \sum lo g ∣ f^{'} (x_{n}) ∣

λ>0 → 混沌；λ<0 → 周期。

ODE / 动力系统2D

\overset{x}{¨}_{1} + ω^{2} x_{1} + k (x_{1} - x_{2}) = 0

两个谐振子通过弹簧耦合 → normal modes。

ODE / 动力系统2D

\ddot{θ} + \frac{g}{L} sin θ = 0

非线性单摆的 (θ, ω) 相空间。

ODE / 动力系统2D

线性系统相图

\overset{x}{˙} = A x

2x2 线性 ODE 的向量场（节点/鞍点/螺旋）。

ODE / 动力系统2D

三物种食物链

\overset{x}{˙} = a x - b x y, \overset{y}{˙} = c x y - d y - ey z, \overset{z}{˙} = f y z - g z

底部资源 + 中间消费者 + 顶级捕食者。

ODE / 动力系统2D

Holling 型 II 捕食模型

\dot{N} = r N (1 - N / K) - \frac{a N}{1 + ah N} P

功能反应函数引入饱和效应。

ODE / 动力系统2D

松弛振荡（FitzHugh-Nagumo）

\overset{v}{˙} = v - v^{3} /3 - w + I, \overset{w}{˙} = ϵ (v + a - b w)

神经元模型，慢-快动力学。

ODE / 动力系统2D

Rössler 吸引子

\overset{x}{˙} = - y - z, \overset{y}{˙} = x + a y, \overset{z}{˙} = b + z (x - c)

仅 1 个非线性项的混沌系统。

ODE / 动力系统2D

Sine-Gordon 方程

⭐⭐⭐⭐⭐

u_{tt} - u_{xx} + sin u = 0

非线性波；孤子解（kink）。

ODE / 动力系统2D

SIR 流行病模型

\dot{S} = - β S I, \dot{I} = β S I - γ I

易感/感染轨迹（R 由守恒补出）。

ODE / 动力系统2D

SIRS 模型（带免疫流失）

\dot{S} = - β S I + ξ R

免疫衰退导致周期性疫情。

ODE / 动力系统2D

\overset{x}{¨} + 2 ζ ω \overset{x}{˙} + ω^{2} x = 0

欠阻尼/临界/过阻尼三种情况。

ODE / 动力系统2D

Thomas 吸引子

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙} = sin y - b x

对称循环结构的混沌系统。

ODE / 动力系统2D

范德波尔振荡

\overset{x}{¨} - μ (1 - x^{2}) \overset{x}{˙} + x = 0

非线性阻尼，μ 控制松弛振荡形状，存在极限环。

ODE / 动力系统2D

f = - 20 e^{- 0.2 (x^{2} + y^{2}) /2} - e^{(c o s 2 π x + c o s 2 π y) /2} + e + 20

多模态地形测试。

优化 / 数值2D

ADMM (LASSO 2D)

⭐⭐⭐⭐⭐

min \frac{1}{2} ∥ A x - b ∥^{2} + λ ∥ x ∥_{1}

Soft-threshold 子步骤可视化。

优化 / 数值2D

共轭梯度（CG）

p_{k + 1} = - r_{k + 1} + β_{k} p_{k}

求解 Ax=b，2D 椭圆 ≤2 步收敛。

优化 / 数值2D

ar g min_{x_{i}} f 一次只动一维

交替沿 x、y 方向最小化。

优化 / 数值2D

弱对偶 / 强对偶

d^{*} \leq p^{*}

凸优化下 gap = 0 (Slater)。

优化 / 数值2D

select+crossover+mutate

种群在多峰地形上演化找最大。

优化 / 数值2D

黄金分割搜索

ϕ = (5 - 1) /2

区间内单峰函数最小化。

优化 / 数值2D

梯度下降轨迹

x_{n + 1} = x_{n} - η \nabla f

看 lr 和函数地形如何决定收敛。

优化 / 数值2D

Himmelblau 函数

f = (x^{2} + y - 11)^{2} + (x + y^{2} - 7)^{2}

4 个相同高度局部极小。

优化 / 数值2D

拉格朗日乘子

\nabla f = λ \nabla g

最大化 f(x,y)=xy 受约束 x²+y²=r²。

优化 / 数值2D

LASSO 回归（L1）

min ∥ y - X β ∥^{2} + λ ∥ β ∥_{1}

L1 罚 → 稀疏系数。

优化 / 数值2D

Levenberg-Marquardt 拟合

⭐⭐⭐⭐⭐

(J^{T} J + λ I) δ = J^{T} r

非线性最小二乘：a·exp(-bx²) 拟合噪声散点。

优化 / 数值2D

回溯线搜索（Armijo）

f (x + α p) \leq f (x) + c α \nabla f^{T} p

判断步长 α 是否充分下降。

优化 / 数值2D

2D 线性规划顶点扫描

max c^{T} x s.t. A x \leq b, x \geq 0

目标向量 c 决定哪个顶点最优。

优化 / 数值2D

SGD vs Momentum vs Adam

v_{t} = β v_{t - 1} + (1 - β) \nabla f

三种优化器在峡谷地形上的轨迹对比。

优化 / 数值2D

Nelder-Mead 单纯形

reflect/expand/contract/shrink

2D 三角形通过反射/扩张/收缩搜索最小值。

优化 / 数值2D

牛顿法（求根）

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}

切线交 x 轴，迭代逼近根。

优化 / 数值2D

惩罚函数法

min f (x) + μ max (0, g (x))^{2}

增大 μ → 趋近约束极小。

优化 / 数值2D

近端梯度（ISTA）

⭐⭐⭐⭐⭐

x_{k + 1} = prox_{η g} (x_{k} - η \nabla f)

光滑+非光滑分裂。

优化 / 数值2D

二次型曲面

f (x, y) = a x^{2} + b y^{2} + c x y

凸/鞍/退化分类。

优化 / 数值2D

Rastrigin 函数

f = 20 + x^{2} + y^{2} - 10 (cos 2 π x + cos 2 π y)

网格状局部极小。

优化 / 数值2D

L2 正则化（岭回归）

min ∥ y - X β ∥^{2} + λ ∥ β ∥^{2}

多项式拟合 + L2 正则。

优化 / 数值2D

Rosenbrock 香蕉函数

f = (1 - x)^{2} + 100 (y - x^{2})^{2}

经典优化测试函数。

优化 / 数值2D

x_{n + 1} = x_{n} - f (x_{n}) \frac{x _{n} - x _{n - 1}}{f ( x _{n} ) - f ( x _{n - 1} )}

无需导数版牛顿。

优化 / 数值2D

SGD 噪声轨迹

x_{k + 1} = x_{k} - η (\nabla f + ξ)

随机梯度引入噪声 → 锯齿状下降。

优化 / 数值2D

2D 单纯形可行域

max c^{T} x s.t. A x \leq b

看可行多边形，目标函数线扫过最优顶点。

优化 / 数值2D

P = e^{- Δ E / T}

温度逐步下降，跳出局部最小。

优化 / 数值2D

信赖域方法

min m_{k} (p), ∥ p ∥ \leq Δ_{k}

每步在 Δ 半径球内信任二次模型。

优化 / 数值2D

u_{t} + c u_{x} = 0

初值波形以速度 c 平移（迎风差分）。

PDE / 物理场2D

双调和方程（板模式）

⭐⭐⭐⭐⭐

\nabla^{4} u = 0

矩形板的弯曲振型。

PDE / 物理场2D

Black-Scholes 期权定价

⭐⭐⭐⭐⭐

C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

欧式看涨期权价格 vs 当前股价 S。

PDE / 物理场2D

1D Burgers 方程（激波形成）

⭐⭐⭐⭐⭐

u_{t} + u u_{x} = ν u_{xx}

非线性平流 + 黏性 → 激波。

PDE / 物理场2D

Cahn-Hilliard（相分离）

⭐⭐⭐⭐⭐

ϕ_{t} = \nabla^{2} (ϕ^{3} - ϕ - ϵ^{2} \nabla^{2} ϕ)

相场分离动力学。

PDE / 物理场2D

2D 扩散方程

u_{t} = α \nabla^{2} u

热点逐渐扩散为环形。

PDE / 物理场2D

圆膜本征模 (m,n)

u_{mn} = J_{m} (α r) cos (m θ)

圆鼓膜的本征振型，Bessel 函数节点圆。

PDE / 物理场2D

⭐⭐⭐⭐⭐

∣\nabla u ∣ = 1

到障碍物的距离场（fast-marching 近似）。

PDE / 物理场2D

Fokker-Planck（OU 过程）

⭐⭐⭐⭐⭐

p_{t} = \partial_{x} (θ x p) + D p_{xx}

OU 过程概率密度演化趋于高斯稳态。

PDE / 物理场2D

u_{t} = α u_{xx}

两端冷源，中部高斯热源逐渐扩散平滑。

PDE / 物理场2D

u_{t} = α \nabla^{2} u

多个热源扩散合成。

PDE / 物理场2D

热棒解析解（傅里叶展开）

u (x, t) = \sum b_{n} sin (nπ x) e^{- n^{2} π^{2} t}

方波初值在 t 时刻的解析解。

PDE / 物理场2D

2D 亥姆霍兹方程（矩形膜本征模）

(\nabla^{2} + k^{2}) u = 0

矩形膜本征模 sin(mπx)sin(nπy)。

PDE / 物理场2D

KdV 方程（孤立波）

⭐⭐⭐⭐⭐

u_{t} + 6 u u_{x} + u_{xxx} = 0

sech² 形孤立波。

PDE / 物理场2D

2D 拉普拉斯方程

\nabla^{2} u = 0

四边温度边界 → 内部稳态分布（Jacobi 迭代）。

PDE / 物理场2D

Maxwell EM 行波（1D Yee）

⭐⭐⭐⭐⭐

E, B 同相传播

电磁波在真空中以光速传播。

PDE / 物理场2D

矩形膜本征模 (m, n)

sin (mπ x / a) sin (nπ y / b)

与 helmholtz-2d 类似但纵横比可调。

PDE / 物理场2D

非线性薛定谔（孤子）

⭐⭐⭐⭐⭐

i ψ_{t} + \frac{1}{2} ψ_{xx} + ∣ ψ ∣^{2} ψ = 0

sech 包络保形传播 = 孤子。

PDE / 物理场2D

2D 泊松方程

- \nabla^{2} u = f

右端 = 高斯源，零边界条件，Jacobi 求解。

PDE / 物理场2D

电势曲面 (2D 切片)

- \nabla^{2} V = ρ

两个点电荷的电势。

PDE / 物理场2D

1D 薛定谔方程（高斯波包）

⭐⭐⭐⭐⭐

i ℏ \partial_{t} ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2} ψ + V ψ

波包碰势垒：透射 + 反射。

PDE / 物理场2D

驻波（弦本征模）

u_{n} (x, t) = sin (nπ x) cos (nπ c t)

两端固定弦的 n 阶本征振型。

PDE / 物理场2D

弹塑性应力-应变

σ = E ϵ then yield

弹性段 + 塑性平台 + 硬化段。

PDE / 物理场2D

triangular initial + u_{tt} = c^{2} u_{xx}

拨动点初始三角形，分裂为两半反向行波。

PDE / 物理场2D

输运方程（变速）

u_{t} + c (x) u_{x} = 0

速度依空间变化的平流。

PDE / 物理场2D

1D 波动方程

u_{tt} = c^{2} u_{xx}

两端固定弦，初值高斯包行波。

PDE / 物理场2D

2D 波动方程

u_{tt} = c^{2} (u_{xx} + u_{y y})

方形膜上的水波传播。

PDE / 物理场3D

圆形池塘水波

u_{tt} = c^{2} \nabla^{2} u

圆形边界，中心扰动 → 同心环波 + 反射。

PDE / 物理场2D

贝叶斯定理（医检）

P (D ∣ +) = \frac{P ( + ∣ D ) P ( D )}{P ( + )}

灵敏度/特异度/患病率 → 阳性预测值。

概率 / 统计2D

\frac{x ^{α - 1} ( 1 - x ) ^{β - 1}}{B ( α , β )}

共轭于二项分布。α=β=1 均匀。

概率 / 统计2D

P (k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

n 次试验 k 次成功的概率。

概率 / 统计2D

生日碰撞模拟

trials until collision

随机抽 1..N，统计首次重复出现位置。

概率 / 统计2D

P (至少同) = 1 - \prod (1 - k /365)

23 人时同生日概率 > 50%。

概率 / 统计2D

2D 布朗运动

d X = σ d W

独立高斯增量的二维布朗运动。

概率 / 统计2D

P = \frac{2 L}{π d} \Rightarrow π \approx \frac{2 L \cdot N}{d \cdot k}

随机投针穿线条概率 → π 估计。

概率 / 统计2D

卡方分布 χ²

\frac{x ^{k /2 - 1} e ^{- x /2}}{2 ^{k /2} Γ ( k /2 )}

k 个独立标准正态平方和的分布。

概率 / 统计2D

中心极限定理

\frac{S _{n} - n μ}{σ n} \to N (0, 1)

调样本数 n 看分布如何向高斯靠近。

概率 / 统计2D

C (u, v) = Φ_{ρ} (Φ^{- 1} u, Φ^{- 1} v)

相关系数 ρ 决定联合分布形状。

概率 / 统计2D

E [T_{n}] = n H_{n} \approx n ln n

集齐 n 种卡片所需平均次数。

概率 / 统计2D

Φ (x) = \frac{1}{2} [1 + erf (x / 2)]

累积分布 S 形。

概率 / 统计2D

Dirichlet 分布（单纯形）

\frac{1}{B ( α )} \prod x_{i}^{α_{i} - 1}

三元 Dirichlet 在三角形单纯形上的样本。

概率 / 统计2D

λ e^{- λ x}, x \geq 0

无记忆性；λ 越大衰减越快。

概率 / 统计2D

高尔顿钉板

X = \sum X_{i} \to N

小球碰钉左右等概率，落点直方近似正态。

概率 / 统计2D

高斯混合分布

p (x) = \sum w_{i} N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

两个高斯加权叠加。

概率 / 统计2D

P (k) = (1 - p)^{k - 1} p

首次成功所需试验次数。

概率 / 统计2D

假设检验（α/β/power）

α = P (type I), β = P (type II)

H₀ 与 H₁ 分布的重叠决定 α/β 错误。

概率 / 统计2D

马尔可夫链稳态

π P = π

3 状态链，看转移矩阵的稳态分布。

概率 / 统计2D

麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布

f (v) = 4 π v^{2} (\frac{m}{2 π k T})^{3/2} e^{- m v^{2} /2 k T}

气体分子速率分布。

概率 / 统计2D

MCMC Metropolis-Hastings

α = min (1, π (x^{'}) / π (x))

采样目标密度（双高斯混合）。

概率 / 统计2D

Monte Carlo 估算 π

π \approx 4 \cdot k / N

随机点落在单位圆内的比例 × 4。

概率 / 统计2D

正态分布 PDF

\frac{1}{σ 2 π} e^{- (x - μ)^{2} /2 σ^{2}}

调 μ/σ 看钟形偏移与展宽。

概率 / 统计2D

P (k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}

k 次事件的概率（罕见事件极限）。

概率 / 统计2D

P (N (t) = k) = \frac{( λ t ) ^{k}}{k !} e^{- λ t}

独立等待时间为指数分布的事件流。

概率 / 统计2D

Q_{data} vs Q_{normal}

比较样本分位数与正态分位数。

概率 / 统计2D

1D 随机游走

X_{n + 1} = X_{n} + ξ_{n}

多条独立随机游走轨迹，t 是步数（横轴）。

概率 / 统计2D

回归 95% 置信带

\overset{y}{^} \pm t_{α /2} S E

OLS 拟合 + 95% 置信带。

概率 / 统计2D

\frac{Γ (( ν + 1 ) /2 )}{ν π Γ ( ν /2 )} (1 + x^{2} / ν)^{- (ν + 1) /2}

ν→∞ 趋于标准正态。

概率 / 统计2D

p (x) = 1/ (b - a)

概率 / 统计2D

量子化辐射能

E_{n} = nh ν

普朗克量子化解决紫外灾难。横轴 n。

量子 / 波函数2D

BEC 凝聚分数

N_{0} / N = 1 - (T / T_{c})^{3/2}

低于 Tc，凝聚态出现。横轴 T/Tc。

量子 / 波函数2D

量子双缝干涉

P (x) \propto cos^{2} (π d sin θ / λ) sinc^{2} (π a sin θ / λ)

电子/光子衍射条纹。

量子 / 波函数2D

费米黄金法则

Γ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ ⟨ f ∣ H_{1} ∣ i ⟩ ∣^{2} ρ (E_{f})

跃迁速率 ∝ 矩阵元² × 终态密度。

量子 / 波函数2D

高斯波包 (实部)

ψ (x) = e^{- x^{2} / (2 σ^{2})} cos (k x)

位置局域化波包，平均动量 ℏk。

量子 / 波函数2D

海森堡不确定原理

Δ x Δ p \geq ℏ/2

σx σp 下界。横轴 σx, 纵轴 σp_min。

量子 / 波函数2D

氢原子能级 (Rydberg)

E_{n} = - 13.6/ n^{2} eV

氢原子主量子数能级。

量子 / 波函数2D

氢原子径向波函数

⭐⭐⭐⭐⭐

R_{n l} (r) \propto r^{l} L_{n - l - 1}^{2 l + 1} (2 r / n) e^{- r / n}

径向部分（玻尔半径单位）。

量子 / 波函数2D

无限深势阱

ψ_{n} (x) = 2/ L sin (nπ x / L)

1D 盒子中的能级波函数。

量子 / 波函数2D

2D 谐振子 |ψ|²

ψ_{n_{x}, n_{y}} (x, y)

二维谐振子概率密度面。

量子 / 波函数3D

谐振子能级

E_{n} = ℏ ω (n + 1/2)

等距能级阶梯。横轴 n。

量子 / 波函数2D

谐振子波函数 |ψn|²

ψ_{n} = \frac{1}{2 ^{n} n !} H_{n} (x) e^{- x^{2} /2}

量子谐振子定态波函数。

量子 / 波函数2D

量子隧穿透射率

T \approx 16 E (V_{0} - E) / V_{0}^{2} \cdot e^{- 2 κ L}

方势垒透射概率。横轴 E/V₀。

量子 / 波函数2D

Bloch 球 (spin-1/2)

∣ ψ ⟩ = cos (θ /2) ∣0 ⟩ + e^{i ϕ} sin (θ /2) ∣1 ⟩

量子态在 Bloch 球面上的几何。

量子 / 波函数3D

Stern-Gerlach 测量

P (↑) = cos^{2} (θ /2)

自旋投影概率。横轴 θ (rad)。

量子 / 波函数2D

2D 莫尔条纹

sin (ω_{1} x) \cdot sin (ω_{2} y)

两频率细网叠加 → 莫尔。

信号 / 变换2D

(1 + m cos ω_{m} t) cos ω_{c} t

载波 ω_c × 包络（1 + m cos ω_m t）。

信号 / 变换2D

y = sin (ω_{1} t) + sin (ω_{2} t)

两个相近频率叠加产生包络拍。

信号 / 变换2D

双二阶滤波器 (peaking)

H (z) = \frac{b _{0} + b _{1} z ^{- 1} + b _{2} z ^{- 2}}{1 + a _{1} z ^{- 1} + a _{2} z ^{- 2}}

调中心频率与 Q。

信号 / 变换2D

倒频谱 (cepstrum)

⭐⭐⭐⭐⭐

C = ∣ F F T (lo g ∣ F F T (x) ∣^{2}) ∣

用于回声 / 基频检测。

信号 / 变换2D

(f * g) (t) = \int f (τ) g (t - τ) d τ

方波 * 高斯 = 平滑后的版本。

信号 / 变换2D

自相关函数

R_{xx} (τ) = \sum x (t) x (t + τ)

周期信号的自相关同周期。

信号 / 变换2D

X_{k} = \sum x_{n} cos (π k (n + 1/2) / N)

JPEG 用的离散余弦变换。

信号 / 变换2D

L = 20 lo g_{10} (A / A_{0})

幅度比与分贝换算。

信号 / 变换2D

DFT 公式可视化

X_{k} = \sum x_{n} e^{- 2 π ik n / N}

对一个频率 k 的傅里叶系数累加可视化。

信号 / 变换2D

X_{k} = \sum x_{n} e^{- 2 π ik n / N}

三正弦叠加 + 时域/频域对照。

信号 / 变换2D

cos (ω_{c} t + β sin ω_{m} t)

载波频率随调制信号变化。

信号 / 变换2D

群延迟（FIR 滤波器）

τ_{g} = - d ∠ H / d ω

线性相位滤波器的群延迟为常数。

信号 / 变换2D

Hilbert 变换 / 解析信号

\overset{x}{^} (t) = \frac{1}{π} p.v. \int \frac{x ( τ )}{t - τ} d τ

90° 相移得到正交分量。

信号 / 变换2D

IIR 共振器频响

H (z) = \frac{1}{1 - 2 r c o s θ z ^{- 1} + r ^{2} z ^{- 2}}

极点接近单位圆 → 尖峰共振。

信号 / 变换2D

Lissajous 曲线

x = A sin (a t + δ), y = B sin (b t)

频率比 a:b 决定闭合形态。

信号 / 变换2D

一阶 RC 低通滤波器

∣ H (f) ∣ = \frac{1}{1 + ( f / f _{c} ) ^{2}}

幅频/相频响应（Bode 图）。

信号 / 变换2D

Morlet 小波 (实部)

ψ (t) = e^{- t^{2} /2} cos (ω t)

高斯包络 × 振荡。

信号 / 变换2D

陷波滤波器频响

H (z) = \frac{( z - e ^{j ω_{0}} ) ( z - e ^{- j ω_{0}} )}{( z - r e ^{j ω_{0}} ) ( z - r e ^{- j ω_{0}} )}

去除特定频率分量。

信号 / 变换2D

极点-零点图（z 平面）

H (z) = \frac{( z - z _{1} ) ( z - z _{2} )}{( z - p _{1} ) ( z - p _{2} )}

圆内极点 → 稳定。

信号 / 变换2D

f_{s} > 2 f (Nyquist)

采样率 fs 不足时高频伪装为低频。

信号 / 变换2D

sinc (x) = \frac{s i n π x}{π x}

矩形窗的傅里叶变换。

信号 / 变换2D

频谱图（chirp）

STFT (t, f)

线性 chirp 信号的时频图。

信号 / 变换2D

插值与抽取 (L↑M↓)

y [n] = \sum x [k] h [n - L k]

L 倍插值后通过低通滤波。

信号 / 变换2D

ψ_{j, k} (t) = 2^{j /2} ψ (2^{j} t - k)

尺度 j 和位移 k。

信号 / 变换2D

墨西哥帽小波

ψ (t) = (1 - t^{2}) e^{- t^{2} /2}

高斯二阶导。

信号 / 变换2D

w (n)

Rect/Hann/Hamming/Blackman/Bartlett。

信号 / 变换2D

ZCR = \frac{1}{N} \sum ∣ sgn (x_{n}) - sgn (x_{n - 1}) ∣/2

高频信号过零率高。

信号 / 变换2D

FFT 零填充（频域插值）

zero-pad \to spectral interpolation

信号补零后频谱密集化（不增分辨率）。

信号 / 变换2D

频谱缩放（FFT 局部）

X (f) around f_{0}

两个相近频率的分辨。

信号 / 变换2D

波西米亚穹顶

(a cos u, b sin u + c cos v, c sin v)

两正交圆的扫掠面。

拓扑 / 流形2D

甜甜圈 ↔ 咖啡杯

genus 1 同胚

拓扑同胚：同 genus 物体。

拓扑 / 流形3D

Breather 曲面

⭐⭐⭐⭐⭐

constant negative curvature

sine-Gordon 方程的呼吸子解曲面。

拓扑 / 流形2D

(c cosh (v / c) cos u, v, c cosh (v / c) sin u)

另一种极小曲面。

拓扑 / 流形2D

(t cos u, t, t sin u)

高度参数 t × 单位圆。

拓扑 / 流形2D

扭结家族（torus knots）

(p, q) -torus knot

p, q 互素 → 不同纽结类型。

拓扑 / 流形3D

Cross-cap (RP² 浸入)

⭐⭐⭐⭐⭐

\text{self-intersecting RP^2 immersion}

另一种 RP² 浸入 R³ 的方式。

拓扑 / 流形2D

⭐⭐⭐⭐⭐

(cos u sin v, sin u sin v, cos v + ln tan (v /2) + a u)

常负高斯曲率的扭转曲面。

拓扑 / 流形2D

Enneper 极小曲面

⭐⭐⭐⭐⭐

(u - u^{3} /3 + u v^{2}, - v + v^{3} /3 - v u^{2}, u^{2} - v^{2})

局部均值曲率为零的极小曲面。

拓扑 / 流形2D

Euler 数 V−E+F

χ = V - E + F

凸多面体 χ=2，环面 χ=0，亏格 g 曲面 χ=2−2g。

拓扑 / 流形2D

亏格曲面 (g-torus)

χ = 2 - 2 g

g 个洞拼接 = 亏格 g 曲面。

拓扑 / 流形3D

3D 心形（Taubin）

(x^{2} + \frac{9}{4} y^{2} + z^{2} - 1)^{3} = x^{2} z^{3} + \frac{9}{80} y^{2} z^{3}

Taubin 心形隐式曲面（参数近似）。

拓扑 / 流形2D

螺旋面 (helicoid)

(u cos v, u sin v, c v)

极小曲面，与 catenoid 等距同构。

拓扑 / 流形2D

⭐⭐⭐⭐⭐

S^{3} \to S^{2}

S² 上每点对应 S³ 上一个圆。投影到 R³ 看缠绕环。

拓扑 / 流形3D

单叶双曲面

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

两族直线生成的二次曲面。

拓扑 / 流形2D

Klein parameterization

无内外之分的不可定向曲面（沉浸到 R³）。

拓扑 / 流形2D

莫比乌斯带

(R + v cos (u /2)) cos u

单侧曲面。

拓扑 / 流形2D

可定向性测试 (Möbius 蚂蚁)

single-sided surface

蚂蚁沿 Möbius 带走一周回到反面。

拓扑 / 流形3D

椭圆抛物面 z=x²+y²

z = a x^{2} + b y^{2}

a=b 旋转抛物面，a≠b 椭圆抛物。

拓扑 / 流形2D

实射影平面 (Boy 表面)

⭐⭐⭐⭐⭐

RP^{2}

不可定向无边界曲面浸入 R³。

拓扑 / 流形2D

马鞍面 z=x²−y²

z = x^{2} - y^{2}

高斯曲率处处为负的双曲抛物面。

拓扑 / 流形2D

spiral \times tube

指数螺旋路径上拉伸圆 = 海螺。

拓扑 / 流形2D

球面参数化

(sin v cos u, sin v sin u, cos v)

经纬度参数化球面。

拓扑 / 流形2D

球谐函数 Y_{l,m}

⭐⭐⭐⭐⭐

Y_{l}^{m} (θ, ϕ)

量子原子轨道形状。

拓扑 / 流形2D

超球（superegg）

∣ x ∣^{n} + ∣ y ∣^{n} + ∣ z ∣^{n} = 1

n=2 球，n→∞ 立方。

拓扑 / 流形2D

(R + r cos v) cos u

大半径 R + 小半径 r。

拓扑 / 流形2D

(sin t + 2 sin 2 t, cos t - 2 cos 2 t, - sin 3 t)

最简单的非平凡纽结。

拓扑 / 流形3D

(uv, u, v^{2})

有自交叉的曲面奇点。

拓扑 / 流形2D

ABC (Arnold-Beltrami-Childress) 3D 流

⭐⭐⭐⭐⭐

\overset{x}{˙} = A sin z + C cos y

3D 不可压无黏混沌流。

向量场 / 微分几何3D

曲线曲率(参数化)

κ = \frac{∣ x ^{'} y ^{''} - y ^{'} x ^{''} ∣}{( x ^{'2} + y ^{'2} ) ^{3/2}}

参数曲线沿途的曲率（标在颜色）。

向量场 / 微分几何2D

⭐⭐⭐⭐⭐

\nabla \times F

F=(0, x, 0) 的旋度可视化。

向量场 / 微分几何3D

高斯曲率彩色图

⭐⭐⭐⭐⭐

K = κ_{1} κ_{2}

调参看双曲（K<0）/椭圆（K>0）/平直（K=0）面。

向量场 / 微分几何2D

电偶极子场

E = \frac{1}{4 π ϵ _{0}} \frac{q _{i} ( r - r _{i} )}{∣ r - r _{i} ∣ ^{3}}

+/− 电荷的合成 E 场。

向量场 / 微分几何2D

F = \nabla (cos θ / r)

势流偶极的速度场。

向量场 / 微分几何2D

散度与旋度

\nabla \cdot F, \nabla \times F

源/旋/剪/鞍 4 类原型场。

向量场 / 微分几何2D

v = \sum Γ_{i} \hat{θ}_{i} / r_{i}

两个涡旋的速度场叠加。

向量场 / 微分几何2D

剪切流 (Couette)

u = \overset{γ}{˙} y

两壁间线性速度剖面。

向量场 / 微分几何2D

球面测地线（大圆）

great circle

两点间最短路径 = 大圆弧。

向量场 / 微分几何3D

\nabla f = (\partial_{x} f, \partial_{y} f)

高斯峰的梯度向量。

向量场 / 微分几何2D

热流场（−∇T）

q = - κ \nabla T

温度场 T = sin(ax)cos(by) 的负梯度 = 热流方向。

向量场 / 微分几何2D

\sum \pm Γ at staggered points

交替排列正负涡 → 涡街。

向量场 / 微分几何2D

电流环磁场（剖面）

B = \nabla \times A

电流环 (±z 处) 的二维剖面 B 场。

向量场 / 微分几何2D

法曲率（Monge 曲面）

κ_{n} = \frac{I I}{I}

Monge patch 上的法曲率分布。

向量场 / 微分几何2D

中心引力速度场

\overset{r}{˙} = v_{r} \overset{r}{^} + v_{θ} \hat{θ}

圆形轨道速度场（圆周运动方向）。

向量场 / 微分几何2D

球面上平行移动

⭐⭐⭐⭐⭐

\nabla_{X} Y = 0

沿大圆移动向量保持平行 → Holonomy。

向量场 / 微分几何3D

Poiseuille 流（管中速度剖面）

u (r) = \frac{Δ P}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

圆管层流抛物线剖面。

向量场 / 微分几何2D

F = (a x, - a y)

拉伸 + 压缩 = 鞍点。

向量场 / 微分几何2D

汇 / 源（点）

F = k (r - r_{0}) /∣ r - r_{0} ∣^{2}

k>0 源；k<0 汇。

向量场 / 微分几何2D

纯应变率场

F = (a x + b y, b x + cy)

对称矩阵 → 拉伸压缩主轴。

向量场 / 微分几何2D

流线（积分曲线）

\frac{d x}{d t} = F (x)

多种 2D 向量场的流线。

向量场 / 微分几何2D

环面切向量场

⭐⭐⭐⭐⭐

v = \partial_{u} + a \partial_{v}

环面 (R,r) 上线性向量场（不可绳化）。

向量场 / 微分几何3D

三源叠加场

F = \sum q_{i} (r - r_{i}) /∣ r - r_{i} ∣^{3}

三个等强度源的电场叠加。

向量场 / 微分几何2D

F = (u_{0}, v_{0})

恒定方向流场。

向量场 / 微分几何2D

均匀流 + 涡（Magnus）

F = U_{\infty} + Γ (- y, x) / r^{2}

马格努斯效应基本场。

向量场 / 微分几何2D

势函数梯度场

F = \nabla ϕ

φ = sin(ax)cos(by) 的梯度场。

向量场 / 微分几何2D

F = Γ (- y, x) / r^{2}

强度 Γ 单一涡线。

向量场 / 微分几何2D